JZOJ6392. 【NOIP2019模拟2019.10.26】僵尸

Description

传送门

$T<=5,1<=n,m<=2000,1<=li,ri,hi<=1e9$

Solution

• 首先很容易想到的是求所有节点都被占领的概率，也就是方案数（最后再除以总数）。
• 考场上的时候想到了状态$f[x][i]$表示x的子树全部被占领，从x的子树上到x节点上的最大能力的僵尸是$i$。
• 但是难处理的是僵尸会从一个子树上去再下来到某个节点，单单是考虑x的子树中的僵尸是不行的，要考虑到所有的僵尸。
• 所以就有了一种很巧妙的方法，将$f[x][i]$变为在整棵树上的僵尸$i$到了x。有可能这个i不在x的子树中，但是它可以从父亲走过来，所以我们就假设它到了x，并且预先把它的贡献算出来（这是我觉得这题设的状态最巧妙并且最难懂的地方）
• 既然已经理解了状态的话，方程就不难推了。
• 考虑x是当前点，y是它的儿子。假设y->x的边被k这个僵尸通过的方案为$w_k$，通不过的方案为$v_k$。

1. $f'[x][k]+=f[x][k]*f[y][k]*w_k$，表示x或y如果有k的话，那这个k也通过(x,y)走到另一边，不用管是从下往上还是从上往下，为了让k走过去，就要有$w_k$。
2. $f'[x][k]+=f[x][k]*\sum_{t>k}{f[y][t]}*v_t$，表示当t比k要强的时候，t不能跳到k。注意t一定在y的子树内，k一定不在y的子树内。
3. $f'[x][k]+=f[x][k]*v_k*\sum_{t<k}{f[y][t]}$，即t比k弱时，k不能跳到t。t，k范围同上。

• f[x]的初值：假设x点起始的僵尸最强的是p，那么$f[x][i]=(i>=p)$，因为不管僵尸怎么走，起始的时候的最大僵尸就一定不小于p。
• 用前缀（后缀）和优化。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 2005
#define ll long long 
#define mo 998244353
using namespace std;

int T,n,m,i,j,k,x,y,u,v,tot;
int em,e[maxn*2],nx[maxn*2],ls[maxn],L[maxn*2],R[maxn*2];
int hv[maxn][maxn];
struct zom{int s,h;} z[maxn];
int cmp(zom a,zom b){return a.h<b.h;}
ll sum,ans,f[maxn][maxn],g[maxn],s[maxn];

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1) 
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll Get(int i,int k,int t){
	if (t==1) return min(max(0,z[k].h-L[i]),R[i]-L[i]+1);
	return min(max(0,R[i]-z[k].h+1),R[i]-L[i]+1);
}

void dg(int x,int p){
	int i,j,y; ll s;
	for(i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p)
		dg(e[i],x);
	int tp=1;
	for(i=m;i>=1;i--) {
		f[x][i]=tp;
		if (hv[x][i]) tp=0;
	}
	for(i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p){
		y=e[i];
		for(j=1;j<=m;j++) hv[x][j]|=hv[y][j];
		memcpy(g,f[x],sizeof(g));
		memset(f[x],0,sizeof(f[x]));
		for(j=1;j<=m;j++) f[x][j]+=g[j]*f[y][j]%mo*Get(i,j,1)%mo;
		for(s=0,j=m;j>=1;j--){
			if (!hv[y][j]) f[x][j]+=s*g[j]%mo;
			if (hv[y][j]) (s+=f[y][j]*Get(i,j,0)%mo)%=mo;
		}
		for(s=0,j=1;j<=m;j++) {
			if (!hv[y][j]) f[x][j]+=s*g[j]%mo*Get(i,j,0)%mo;
			if (hv[y][j]) (s+=f[y][j])%=mo;
		}
	}
	for(i=1;i<=m;i++) f[x][i]%=mo;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		em=0,memset(ls,0,sizeof(ls));
		sum=1;
		for(i=1;i<n;i++){
			scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&u,&v);
			em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em; L[em]=u,R[em]=v;
			em++; e[em]=x; nx[em]=ls[y]; ls[y]=em; L[em]=u,R[em]=v;
			sum=sum*(v-u+1)%mo;
		}
		for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&z[i].s,&z[i].h);
		sort(z+1,z+1+m,cmp);
		memset(hv,0,sizeof(hv));
		for(i=1;i<=m;i++) hv[z[i].s][i]=1;
		dg(1,0);
		for(ans=0,i=1;i<=m;i++) ans+=f[1][i];
		printf("%lld\n",((sum-ans%mo)%mo*ksm(sum,mo-2)%mo+mo)%mo);
	}
}