注：目前因系統問題，故將本文中的公式全部刪除，具體請見pdf版本或訪問：http://www.yushuai.xyz/2019/10/16/4442.html
第四章：波束穩健性分析
在實際中，由於各種誤差（如觀察方向誤差、陣型標定誤差、通道幅度與相位誤差等）的影響，造成導向向量存在誤差；另外，由於接收數據協方差矩陣無法精確計算，只能通過接受數據進行估計，也不可避免的存在估計誤差。導向向量與接受數據互譜矩陣誤差都勢必影響最佳波束形成器的輸出信噪比性能。
4.1 最佳波束形成器穩健性影響因素
無論是MVDR還是MMSE，亦或是MSNR波束形成器，其加權向量其實統一可以寫爲
造成導向向量失配的原因有方向失配與陣元接收響應誤差等。其中陣元接收響應誤差包括通道幅相誤差、陣元位置誤差、陣元各向異性與不一致性引起的響應靈敏度誤差等。
造成數據協方差矩陣誤差的原因主要是：我們一般採用有限長度數據快拍估計得到數據協方差矩陣，估計值與實際值存在誤差。
4.2 導向向量失配對波束性能的影響
我們知道MVDR的陣增益是
將上式進行處理可以得到
根據上式分析導向向量誤差、輸入信噪比對MVDR波束形成器的陣增益的影響：
4.3 協方差矩陣失配對波束性能的影響
4.3.1 樣本協方差矩陣求逆波束形成
接下來，我們對協方差矩陣統一用R來表示，於是MVDR波束形成器加權向量又可以表示爲
式中
它不影響波束形成器的陣增益性能，只是爲了滿足無失真約束。
一個自適應波束形成器處於白噪聲環境下的波束稱爲靜態波束（quiescent pattern），對應的加權向量稱爲靜態波束加權向量。對於式所示的MVDR對應的靜態波束爲常規時延求和波束。但是，其它自適應波束形成算法對應的靜態波束不一定是常規波束。
在實際中，也包括自己編寫的程序中，協方差矩陣都是通過一段數據快拍樣本（長度爲N）的空間相關矩陣來估計（當然實際中只是第一幀是如此估計），也就是
爲了保證R ^ 可逆，快拍數需要滿足N≥M。當N無窮大的時候，R ^逼近於真實協方差矩陣R。權向量也就變成了
這種方法就是自適應波束形成。上面所示的直接對數據樣本協方差矩陣求逆來實現MVDR波束形成器的方法稱爲**樣本協方差矩陣求逆（Sample Matrix Inversion, SMI）**方法。在計算式的時候，主要計算量來源於對樣本協方差矩陣進行特徵分解，其計算複雜度爲
4.3.2 樣本協方差矩陣求逆法波束性能
在假設觀察數據中不包含期望信號（β=0）的條件下分析SMI方法，歸一化輸出信幹噪比定義如下
式中，分母表示在精確制導數據協方差矩陣與導向向量情況下的最優輸出信幹噪比。在採用N個快拍估計數據協方差矩陣時，歸一化輸出信幹噪比的均值爲
上式表明，爲了保證SMI波束形成的平均輸出SINR比最有情況下損失在3dB以內，要求
在快拍數有限的時候，SMI波束旁瓣升高，它除了高於靜態波束【一個自適應波束形成器處於白噪聲環境下的波束】之外，平均旁瓣與樣本數目的關係大約爲
在式中，SLL表示旁瓣級。
當數據樣本中包含期望信號的時候（β=1），SMI波束形成的性能會收到更嚴重的影響。這就是信號“自消”現象。由於快拍數目有限，用樣本協方差矩陣代替理想數值會產生誤差，它不能和真實的信號響應向量匹配。因此，SMI波束形成器會誤將期望信號視作干擾信號進行零陷，而不是增強。
如果信噪比較高，爲保證SMI波束形成器的平均輸出SINR損失在3dB以內，快拍數需要滿足
從上式可以看出，在訓練數據包括期望信號的時候，SMI方法收斂速度更慢，穩健性更差。
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