代數拓撲\集合拓撲\代數拓撲\拓撲關係\拓撲結構_筆記

學GIS空間數據庫的時候，拓撲方面內容筆記

拓撲的定義

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。

“拓撲”就是把實體抽象成與其大小、形狀無關的“點”，而把連接實體的線路抽象成“線”，進而以圖的形式來表示這些點與線之間關係的方法，其目的在於研究這些點、線之間的相連關係。表示點和線之間關係的圖被稱爲拓撲結構圖。拓撲結構與幾何結構屬於兩個不同的數學概念。在幾何結構中， 我們要考察的是點、線、面之間的位置關係，或者說幾何結構強調的是點與線所構成的形狀及大小。如梯形、正方形、平行四邊形及圓都屬於不同的幾何結構，但從拓撲結構的角度去看，由於點、線間的連接關係相同，從而具有相同的拓撲結構即環型結構。也就是說，不同的幾何結構可能具有相同的拓撲結構。 

如三角形變成四邊形、原型、環形，角度、長度、面積、形狀等等都很可能發生變化。此時，不必考慮它們的形狀和大小（如長度、面積、形狀等等這些），只考慮物體間的位置、結構關係，只專注於在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質(如他們都是一個圈)，這就是拓撲學。

拓撲學歷史

拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。

幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在後來的拓撲學的形成中佔着重要的地位。

• 1679年德國數學家萊布尼茨提出的名詞 拓撲學，起初叫形勢分析學，他在17世紀提出“位置的幾何學”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的說法。

• 1736年歐拉在解決了七橋問題，給當時數學界引起很多思考；

• 1750年歐拉在發表了多面體公式；

• 1833年高斯在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。

• 1847年 J.B.利斯廷根據希臘文τπο和λγο（“位置”和“研究”），提出Topology這一數學名詞，即拓撲學。Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。

• 1851年左右，即19世紀中期，德國數學家黎曼在複變函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，並且強調爲了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學，從此數學界開始了現代拓撲學的系統研究。

 

 

不同學科對拓撲的定義不盡相同

集合拓撲：拓撲是集合上定義的一種結構。

點集拓撲學

點集拓撲學（Point Set Topology），有時也被稱爲一般拓撲學（General Topology），是數學的拓撲學的一個分支。

它研究拓撲空間以及定義在其上的數學結構的基本性質。這一分支起源於以下幾個領域：對實數軸上點集的細緻研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。

點集拓撲學定義

拓撲是一個包含一個集合X連同和X的子集族Σ(稱爲開集系)的二元組(X,Σ)，它滿足如下三個公理：

1. 開集的並集是開集。

2. 有限個開集的交集是開集。

3. X和空集∅是開集。

設T爲非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1. X與空集都屬於T;

2. T中任意兩個成員的交屬於T;

3. T中任意多個成員的並屬於T; 則T稱爲X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱爲拓撲空間，記爲(X，T)。

也等價於:

• X和空集都屬於T；

• T中任意多個成員的並集仍在T中；

• T中有限多個成員的交集仍在T中。

此時稱稱T中的成員爲這個拓撲空間的開集。最普通的例子便是實數集上的距離拓撲，這與我們通常對實數的認識相同。最簡單(粗)的拓撲爲平凡拓撲，它只包含T本身和空集，最複雜(細)的拓撲的構成開集爲T的所有子集。

同一個集合X，若指定不同的拓撲，則構造出不同的拓撲空間。凡屬於X的子集稱爲X的一個關於T的開子集，即開集。開子集關於全集的補集，稱爲閉子集，即閉集。一個集合是不是開/閉子集，取決於拓撲的指定。由定義，X本身和空集是既開又閉的子集。

本質上，拓撲就是要給一個集合指定一個幾何結構，然後這個集合就成了一個我們可以研究的空間。比如，有了拓撲和開集的定義後，我們就可以擺脫大一數學分析的ε-δ來給出更一般的連續性定義：設A和B是兩個拓撲空間，A到B的映射f稱爲連續的，若任何B的開集在f下的原象是A的開集。這樣我們對於函數的研究將不再侷限於實數，而是搬到更一般的拓撲空間內了。

 

 

 

平面拓撲關係

對於一般的拓撲關係，一圖概括如下

Egenhofer和Franzosa在1991年共同撰寫的論文Point-Set Topological Spatial Relations，爲空間拓撲（九交模型）奠定了重要基礎。

依據集合論，作者對於點集拓撲空間定義了以下基本概念，以描述空間對象：

• Interior(內部)  ：對於  , interior指的是所有包含  的開放集合的並集。對於空間對象，可以認爲是空間對象的內部。

• Closure(閉包)  ：對於  , closure指的是所有包含  的閉集合的交集。對於空間對象，可以認爲是空間對象整體。

• Boundary(邊界)  ：對於  , boundary指的是Y的閉包與Y的補集的閉包的交集，即  。對於空間對象，可以認爲是空間對象的邊界。

簡而言之，一個空間對象可定義爲由內部+邊界構成。

根據以上三條定義可知以下兩命題：

1.  。即：內部和邊界的交集爲空。

2.  。即：內部和邊界的並集爲整個對象。

九交模型

在一個平面R2上，兩個對象A和B之間的二元拓撲關係要基於以下的相交情況：A的內部（A°）、邊界（αA）和外部（A-）與B的內部（B°）、邊界（αB）和外部（B-）之間的交。

 

考慮取值有空（0）和非空（1），可以確定有256種二元拓撲關係。對於嵌在R2中的二維區域，有八個關係是可實現的，並且它們彼此互斥且完全覆蓋。這些關係爲：相離（disjoint）、相接（meet）、交疊（overlap）、相等（equal）、包含（contain）、在內部（inside）、覆蓋（cover）和被覆蓋（covered by）。

九交模型

三維空間拓撲關係

• 點-點空間關係2種：相離、相等；

• 點-線空間關係3種：相離、相接、包含於；

• 點-面空間關係3種：相離、相接、包含於；

• 點-體空間關係3種：相離、相接、包含於；

• 線-線空間關係7種：相離、相交、交疊、相等、相接、包含於、包含；

• 線-面空間關係5種：相離、相接、進入、穿越、包含於；

• 線-體空間關係5種：相離、相接、進入、穿越、包含於；

• 面-面空間關係10種：相離、相接、交疊、相等、包含於、包含、覆蓋、被覆蓋、穿越、被穿越；

• 面-體空間關係8種：相離、相接、交疊、進入、包含於、包含、穿越、被穿越；

• 體-體空間關係8種：相離、相接、進入、相等、包含於、包含、穿越、被穿越。

基本空間拓撲關係的計算

點與直線的關係計算

直線方程：

Ax+By+C=0

A=y1-y2,

B=x1-x2,

C=y2x1-y1x2

令S=Axi+Byi+C

• 當S<0 點在順時針方向上；

• 當S=0 點在直線上；

• 當S<0 點在逆指針方向上。

兩條直線關係的計算

直線方程：

Ax+By+C=0

Ex+Fy+G=0

當FA-EB=0時，兩條直線的交點不存在；否則，交點座標爲：

xi=(GB-FC)/(FA-EB)

yi=(CE-AG)/(FA-EB)

 

空間目標之間的拓撲關係推理

兩條線的直線段之間基本空間拓撲關係的推理

點與其他類型空間目標之間的拓撲關係決策樹

線與面之間的全域空間拓撲關係決策樹

面與面之間的全域空間拓撲關係基本類型的決策樹

 

空間度量關係

度量關係是在歐氏空間（Euclidean Space）（Blumenthal，1970）和度量空間（Metric Space）（Dhage，1992）上進行的操作，它是一切空間數據定量化的基礎。它包含長度、周長、面積、距離等定量的度量關係，其中最主要的度量空間關係是空間對象之間的距離關係。

歐幾里德距離定義如下（Kolountzakis and Kutulakos，1992）：

曼哈頓距離是兩點在南北方向上的距離加在東西方向上的距離（Wu et al.，1987），即：

• • 點與點之間距離&點與線之間距離：dPL(P,L)=min{d1,d2,…dn}

  • 線與線之間的距離：d(L1,L2)=min{d(P1,P2)|P1∈L1,P2 ∈L2}

  • 點與面之間的距離：

    • “中心距離”是點P與面A中幾何中心或者重心之間的距離，

    • “最小距離”是指點P與面A中所有點之間距離的最小值，

    • “最大距離”是指點P與面A中所有點之間距離的最大值。

  • 面與面之間的距離

    • “中心距離”是指兩個面狀物體的質心之間的距離；

    • “最小距離”是指面A1中的點P1與A2中的點P2之間的距離的最小值；

    • “最大距離”是指面A1中的點P1與A2中的點P2之間的距離的最大值。

空間順序關係及描述方法

錐形模型

每區域賦予東、南、西和北，爲得到更精確的方向關係可對其再進行細分得8或16方向。

最小外接矩形模型

 

該模型通過延伸目標的MBR的邊，將空間劃分爲9個區域，分別表示爲北、東北、東、東南、南、西南、西、西北和目標MBR所在的中心方向。

Freksa-Zimmermann模型

以直線段爲參考的定性空間方向模型：以直線爲空間參考目標，把二維空間分解爲15個方向區域。

以點爲參考目標的基本空間方向

點A與點B的空間方向關係可以用向量AB與正北方向的夾角（順時針）來描述。

• • (a) 點A與點B之間的空間方向關係。

  • (b)點A與直線BC之間的空間方向關係，以角平分線L的方位表示。

  • (c) 用兩條直線的中點代表代表其方位。

以直線爲參考目標的基本空間方向

• • (a) 直線AB和直線CD的方向可用向量EF(E和F分別爲兩直線的中點)來描述。

  • (b)直線AB和點C的方向關係。

  • (c) 劃分直線段AB的方向片，點C相對直線AB的關係可描述爲點C在直線AB的哪個方向片中。

  • (d)直線AB和直線CD的方向可用向量EF(E和F分別爲兩直線的中點)來描述，或用向量ED和向量EC來定義。

點與線或面之間的空間方向關係

• • (a) 方向線PS和PE定義了點A與線L之間的全域空間方向關係，點A與P1、P2、P3（中點）的連線定義了點A與不同直線段的局域空間方向關係。

  • (b)方向線PS和PE重和，說明點A被線L包圍，這是全域空間方向關係，點A與P1、P2、P3、P4（中點）的連線定義了點A與不同直線段的局域空間方向關係。

  • (c)方向線PS和PE定義了點A與面B之間的全域空間方向關係，用方向線P1、P2把面域B分爲3部分，每部分可以用該錐形的角平分線描述方向關係，這3部分的面積與面積B的總面積之比分別爲B1、B2、B3。也可以用該錐形的每個角平分線在面內的長度與角平分線在面內的總長度之比L1、L2、L3來表示。

  • (d)方向線PS和PE重和，說明點A被面B包圍，這是全域空間方向關係，面域不同和點A之間的局域空間方向關係描述方法與(c)同。

線與點、線或面之間的空間方向計算與描述

• • (a) 線ABCD與點E之間的全域空間方向關係爲“相同”，直線段AB與點E之間的局域空間方向關係爲“西”。

  • (b) 反映線與線之間的全域空間方向關係，直線段AB與線L2的每條直線段和線的任意子集之間都有局域空間方向關係。

  • (c) 線與面的全域空間方向關係和局域空間方向關係均可象(b)一樣計算和描述。

面與點、線、面之間的空間方向關係計算與描述

• • (a) 面P與點C之間的全域空間方向關係爲“相同”，面P的直線AB與點C之間的局域空間方向關係爲“北”。

  • (b) 面P與直線EFG之間的全域空間方向關係和局域空間方向關係如圖所示，前者爲“東”、“相同”和“南”，而後者爲“東”。

  • (c) 把區域柵格化，判斷子區域與源目標的全域空間方向關係和局域空間方向關係。

 

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