其他題目---郵局選址問題

【題目】

　　一條直線上有居民點，郵局只能建在居民點上。給定一個有序整型數組arr，每個值表示居民點的一維座標，再給定一個正數num，表示郵局數量。選擇num個居民點建立num個郵局，使得所有的居民點到郵局的總距離最短，返回最短的總距離。

【基本思路】

　　方法一。動態規劃。首先解決一個問題，如果在arr[0…j]上只能建立一個郵局，最短總距離是多少？如果居民點有奇數個，郵局建在最中間的那個居民點可以使總距離最短，如果居民點有偶數個，中點有兩個，郵局建在哪個都可以讓總距離最短。可以根據這個思路計算上面的問題。

　　生成規模爲N×M的矩陣w，w[i][j]表示如果在arr[i…j]上只能建立一個郵局，最短的總距離。w[i][j]的值可以通過如下計算得到：
　
　　w[i][j] = w[i][j-1] + arr[j] - arr[(i + j) / 2]

　　有了w矩陣後，接下來進行動態規劃過程。假設dp[i][j]表示如果在arr[0…j]上建立i+1個郵局的最短總距離。所以dp[0][j]的值表示如果在arr[0…j]上建立一個郵局最短的總距離。很明顯，就是w[0][j]。那麼dp[0][0…N-1]上的所有值都可以直接用w[0][0…N-1]賦值。

　　當可以建立不止一個郵局時，情況如下：
　　
　　1、前i-1個郵局負責arr[0]，第i個郵局負責arr[1…j]，總距離爲dp[i-1][0] + w[1][j]
　　2、前i-1個郵局負責arr[0…1]，第i個郵局負責arr[2…j]，總距離爲dp[i-1][1] + w[2][j]
　　3、前i-1個郵局負責arr[0…k]，第i個郵局負責arr[k+1…j]，總距離爲dp[i-1][k] + w[k+1][j]

　　實際上k的取值到j-1就可以了，因爲在還有最後一個居民的時候仍然可以建立一個郵局，那麼在該居民點建立一個郵局一定沒壞處，這樣就可以不用考慮：前i-1個郵局負責arr[0…j]，第i個郵局負責arr[j+1…j]的情況，避免w矩陣溢出。

#python3.5
def siteSelectionQuestion1(arr, num):
    if arr == None or len(arr) == 0 or num < 1 or len(arr) < num:
        return 0
    w = [[0 for i in range(len(arr))] for j in range(len(arr))]
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            w[i][j] = w[i][j-1] + arr[j] - arr[(i+j) // 2]
    dp = [w[0][i] for i in range(len(arr))]
    for i in range(1, num):
        for j in range(len(arr)-1, i-1, -1):
            minDistance = sys.maxsize
            for k in range(i-1, j):
                minDistance = min(minDistance, max(dp[k], w[k+1][j]))
            dp[j] = minDistance
    return dp[-1]

　　方法二。使用“四邊形不等式”優化動態規劃。

　　假設計算dp[i-1][j]時，在最好的劃分方案中，第i-1個郵局負責arr[a…j]的居民點。在計算dp[i][j+1]時，在最好的劃分方案中，第i個郵局負責arr[b…j]的居民點。那麼在計算dp[i][j]時，假設最好的劃分方式是讓第i個郵局負責arr[k…j]，那麼k的範圍一定是[a, b]，這樣就省去了很多無效的枚舉過程，可以將時間複雜度降低一個維度，O(N2∗M)−>O(N2) 。具體實現參見如下代碼：

def siteSelectionQuestion2(arr, num):
    if arr == None or len(arr) == 0 or num < 1 or len(arr) < num:
        return 0
    w = [[0 for i in range(len(arr))] for j in range(len(arr))]
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            w[i][j] = w[i][j-1] + arr[j] - arr[(i+j)//2]
    dp = [w[0][i] for i in range(len(arr))]
    cands = [0 for i in range(len(arr))]
    for i in range(1, num):
        for j in range(len(arr)-1, i-1, -1):
            minEnum = cands[j]
            maxEnum = j-1 if j == len(arr)-1 else cands[j+1]
            minDistance = sys.maxsize
            for k in range(minEnum, maxEnum+1):
                cur = max(dp[k], w[k+1][j])
                if cur <= minDistance:
                    minDistance = cur
                    cands[j] = k
            dp[j] = minDistance
    return dp[-1]