原帖鏈接http://www.cnblogs.com/zhuangli/archive/2008/08/01/1258417.html
1. 最大流最小割定理介紹：
把一個流網絡的頂點集劃分成兩個集合S和T，使得源點s ∈S且匯點t ∈T，割(S,T)的容量C(S,T) =∑Cuv, 其中u∈S且v∈T。
從直觀上看，截集(S,T)是從源點s到匯點t的必經之路，如果該路堵塞則流從s無法到達t。於是我們可以得到下面的定理：
最大流最小割定理：
任意一個流網絡的最大流量等於該網絡的最小的割的容量。
這個定理的證明這裏就不給出了，可以參考圖論方面的資料。
2. 求最大流的Edmonds-Karp算法簡介：
若給定一個可行流F=(Fij)，我們把網絡中使Fij=Cij的弧稱爲飽和弧，Fij<Cij的弧稱爲未飽和弧。如果流網絡中從i到j沒有弧，我們添加一條從i到j且容量Cij=0的弧，這樣整個流網絡變成一個完全圖。如果從i到j有流量Fij，則從j到i的流量定義爲Fji = -Fij 。考慮一條從源點s出發到匯點t的路徑p，如果對於每一段弧(i,j)屬於p都有Fij < Cij，即每一條屬於p的弧都是未飽和弧，則我們可以向這條路徑上壓入更多的流，使得其中的一條弧達到飽和。這樣的路徑p叫做可改進路，可壓入的流量叫做該可改進路的可改進流量。重複這個過程，直到整個網絡找不到一條可改進路，顯然這時候網絡的流量達到最大。Edmonds-Karp算法就是利用寬度優先不斷地找一條從s到t的可改進路，然後改進流量，一直到找不到可改進路爲止。由於用寬度優先，每次找到的可改進路是最短的可改進路，通過分析可以知道其複雜度爲O(VE2)。
Edmonds-Karp算法的僞代碼如下：
設隊列Q--存儲當前未檢查的標號點，隊首節點出隊後，成爲已檢查的標點；
path -- 存儲當前已標號可改進路經；
repeat
path置空;
源點s標號並進入path和Q;
while Q非空 and 匯點t未標號 do
begin
移出Q的隊首頂點u;
for 每一條從u出發的弧(u,v) do
if v未標號 and 弧(u,v)的流量可改進
then v進入隊列Q和path;
end while
if 匯點已標號
then 從匯點出發沿着path修正可改進路的流量;
until 匯點未標號;
Edmonds-Karp算法有一個很重要的性質：當匯點未標號而導致算法結束的時候，那些已經標號的節點構成集合S，未標號的節點構成集合T，割(S,T)恰好是該流網絡的最小割；且這樣求出的最小割(S,T)中集合S的元素數目一定是最少的。
尋找最大流的基本方法是Ford-Fulkerson方法，該方法有多種實現，其基本思想是從某個可行流F出發，找到關於這個流的一個可改進路經P，然後沿着P調整F，對新的可行流試圖尋找關於他的可改進路經，如此反覆直至求得最大流。現在要找最小費用的最大流，可以證明，若F是流量爲V(F)的流中費用最小者，而P是關於F的所有可改進路中費用最小的可改進路，則沿着P去調整F,得到的可行流F'一定是流量爲V(F')的所有可行流中的最小費用流。這樣，當F是最大流時候，他就是所要求的最小費用最大流。
注意到每條邊的單位流量費用B(i,j)≥0，所以F=0必是流量爲0的最小費用流，這樣總可以從F=0出發求出最小費用最大流。一般的，設已知F是流量V(F)的最小費用流，餘下的問題就是如何去尋找關於F的最小費用可改進路。爲此我們將原網絡中的每條弧<u,v>變成兩條方向相反的弧：
1。前向弧<u,v>，容量C和費用B不變，流量F爲0；
2。後向弧<v,u>，容量C爲0，費用爲-B，流量F爲0；
每一個頂點上設置一個參數CT，表示源點至該頂點的通路上的費用和。如果我們得出一條關於F的最小費用可改進路時，則該路上的每一個頂點的CT值相對於其它可改進路來說是最小的。每一次尋找最小費用可改進路時前，源點的CT爲0，其它頂點的CT爲+∞。
設cost爲流的運輸費用，初始時由於F=0,則cost=0,我們每求出一條關於F的最小費用可改進路，則通過cost ← cost + ∑B(e)*d, （其中e∈P,d爲P的可改進量）來累積流的運輸費用的增加量。
顯然，當求出最小費用最大流時，cost便成爲最大流的運輸費用了。
另外設置布爾變量break爲最小費用可改進路的延伸標誌，在搜索了網絡中的每一個頂點後，若break=true表示可改進路還可以延伸，還需要重新搜索網絡中的頂點；否則說明最小費用的可改進路已經找到或者最大流已經求出。
本人說明:
這個模版的代碼完全按照BFS從源點逐個遍歷增廣路徑,得到最大增廣容量,通過不斷調整,最後求得最大流量,值得注意的是,最後一次BFS後所標的路線即爲最小截集,即所謂的瓶頸,據此很容易求出最小截集的容量。
#include <iostream>#include <queue>using namespace std;//鄰接陣實現const long MAXN=1000;const long lmax=0x7FFFFFFF;long Net[MAXN][MAXN];//殘餘網絡long Path[MAXN];//增廣路徑long Lv[MAXN];//增廣路徑通過容量queue<long> q;long m,n;//點，邊long Start,End;void init()
{
while (!q.empty())
{ q.pop();
} memset(Path,-1,sizeof(Path));
}long Min(long a,long b){ return a<b?a:b;}long bfs(){ init(); Path[Start]=0; Lv[Start]=lmax; q.push(Start); while (!q.empty()) { long t=q.front(); q.pop(); if (t==End) { break; } long i; for (i=1;i<=m;++i) { if (i!=Start&&Path[i]==-1&&Net[t][i]) { Lv[i]=Min(Lv[t],Net[t][i]); q.push(i); Path[i]=t; } } } if (Path[End]==-1) { return -1; } return Lv[m];}void print(long n){ printf("%ld/n",n);}void Ford_Fulkerson(){ long i; long Max_Flow=0; for (i=0;i<n;++i) { long from,to,cost; scanf("%ld %ld %ld",&from,&to,&cost); Net[from][to]=cost;//cost爲剩餘量 //如果在現有網絡上擴展 剩餘量爲容量-已佔用量 //最大流結果要加上已流入的量 } scanf("%ld %ld",&Start,&End); long step; while ((step=bfs())!=-1)//反搜增廣路徑並調整流量 { Max_Flow+=step; long now=End; while (now!=Start) { long pre=Path[now]; Net[pre][now]-=step; Net[now][pre]+=step; now=pre; } } print(Max_Flow);}int main(){ while (scanf("%ld %ld",&m,&n)!=EOF) { Ford_Fulkerson(); } return 0;}
