神題神題~~被他折磨了一下午，不過大大加深了我對 Pólya 和 Burnside 的理解。
初學 Pólya 和 Burnside 的時候發現數學太重口味了，背了個公式草草走人，今天爲了做這道題可是費了血本把組合數學的書翻出來看，哎，都怪組合數學課上YY去了。
花了1個小時的時間強啃，總算是有了些收穫，小小的總結下。
首先是幾個名詞：
1.着色方案；
2.置換，置換羣；
3.不動置換，對於某個着色方案，置換之後仍爲自己的置換，叫不動置換；
4.穩定核，對於某種着色方案的不動置換的集合。
對於所有着色方案，有些是同構的，而且同構是具有傳遞性的，比如a和b同構，b和c同構，那麼a和c是同構的。
一個比較直觀的想法：所有本質不同的着色方案=∑（1/和該方案同構的方案數）。
因此求出每個方案與之同構的方案數就是當前的任務。
定理：與方案同構的方案數=（置換羣個數）/（穩定核個數）；
這是怎麼得出來的？
假設 f 爲一個置換，c 爲一個着色方案，g 爲 c 的一個不動置換。
∵g*c=c，f*c=f*c
∴ f*g*c=f*c
可以得，f 和 f*g 這兩個置換作用在 c 上的效果是一樣的。
所以和 f 置換效果一樣的置換一共有（c的穩定核個數）個，對於置換羣中每一個置換作用在 c 上產生的新着色方案，這些新着色方案與 c 同構，且每一個新着色方案都被重複計算了 （穩定核個數）次，所以
定理：與 c 的方案數=（置換羣個數）/（穩定核個數） 得證。
再一步步帶上去，可得
所有本質不同的着色方案=∑（（穩定核個數）/（置換羣個數））{所有着色方案}。
一一計算每一個着色方案的穩定核個數是不可取的，相反的，考慮每一個置換會是多少個着色方案的不動置換，這樣就變成了我們最熟悉的式子：∑C(g)/|G|。
對於最普通的着色問題，式子就可以簡化成：∑MP(g)/|G|。
現在回到這道題：每個置換實際上相當於是把這個環平均分成很多份（鏈）然後相鄰的鏈相等就算同構。
我們需要計算的是每一個置換會是多少個着色方案的不動置換，因爲是不動置換，所以分成的很多鏈式相等的，因此我們只需要考慮一條短鏈的情況就可以了。
問題轉化成爲：一條長度爲L的鏈，相鄰兩個珠子顏色有限制，求方案數。
對於L很大的情況，這就是個經典的矩陣連乘的題目了。
因爲N比較大，考慮使用歐拉函數進行優化，枚舉置換的循環節個數L，那麼和他等價的置換羣一共有 phi（N/L）種，我們需要枚舉的僅僅是N的約數個數，算法複雜度爲 O(N0.5logNM3)。
