樹狀數組(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一個查詢和修改複雜度都爲log(n)的數據結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改一個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中一個元素的值。
假設數組a[1..n]，那麼查詢a[1]+...+a[n]的時間是log級別的，而且是一個在線的數據結構，支持隨時修改某個元素的值，複雜度也爲log級別。
來觀察這個圖：
樹狀數組的結構圖
令這棵樹的結點編號爲C1，C2...Cn。令每個結點的值爲這棵樹的值的總和，那麼容易發現：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
這裏有一個有趣的性質：
設節點編號爲x，那麼這個節點管轄的區間爲2^k（其中k爲x二進制末尾0的個數）個元素。因爲這個區間最後一個元素必然爲Ax，
所以很明顯：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
(1) 算這個2^k有一個快捷的辦法，定義一個函數如下即可：
int lowbit(int x){
return x&(x^(x–1));
}
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}(2) 當想要查詢一個SUM(n)(求a[n]的和），可以依據如下算法即可：
step1: 令sum = 0，轉第二步；
step2: 假如n <= 0，算法結束，返回sum值，否則sum = sum + Cn，轉第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，轉第二步。
可以看出，這個算法就是將這一個個區間的和全部加起來，爲什麼是效率是log(n)的呢？
證明：
n = n – lowbit(n)這一步，實際上等價於將n的二進制的最後一個1減去。而n的二進制裏最多有log(n)個1，所以查詢效率是log(n)的。
代碼實現：
int Sum(int n){
int sum = 0;
while(n>0){
sum += C[n];
n -= lowbit(n);
}
return sum;
}(3) 修改一個節點，必須修改其所有祖先，最壞情況下爲修改第一個元素，最多有log(n)的祖先。
修改算法如下（給某個結點i加上x）：
step1: 當 i<=n 時，執行下一步；否則的話，算法結束;
step2: ci=ci+x ，i=i+lowbit（i）（在 i 的二進制表示的最後加零），返回第一步。
注: i = i +lowbit(i)這個過程實際上也只是一個把末尾1補爲0的過程。
代碼實現：
void change(int i, int x){
while(i<=n){
C[i] += x;
i += lowbit(i);
}
}世界上沒有免費的午餐，你喜歡上樹狀數組，你就一定要承受它的缺點，不過有一點我還沒有絕對地搞清楚，有人說樹狀數組可以解“最長不下降子序列”問題，但這個應該會涉及到求某一個區間範圍內最值。但是貌似樹狀數組要符合減法原則，也就是說不能求某一個區間範圍內最值。初步來講，我認爲“樹狀數組解最長不下降子序列”和“減法原則”可能並不矛盾，可能有一種符合“減法原則”解法，我不做深入討論探究了。
下面引用一段話：
在很多的情況下,線段樹都可以用樹狀數組實現.凡是能用樹狀數組的一定能用線段樹。當題目不滿足減法原則的時候,就只能用線段樹,不能用樹狀數組.例如數列操作如果讓我們求出一段數字中最大或者最小的數字,就不能用樹狀數組了。
除了上面的“減法原則”之外，還需要說明的是：樹狀數組由 1 開始。 習慣用 C/C++的同志們申請地址的時候必須從 0 開始，自然而然地，我們習慣了第一個元素是 0，但是樹狀數組必須由 1 開始。具體細節想一下就會知道，那是因爲跟那個“將 k 化爲二進制數時末尾 0 的個數”有關。
參考資料：
1. http://baike.baidu.com/view/1420784.htm?fr=aladdin
2. http://www.cnblogs.com/zhangshu/archive/2011/08/16/2141396.html
3. http://dongxicheng.org/structure/binary_indexed_tree/
