bzoj3456 城市規劃（分治NTT）

bzoj3456 城市規劃

原題地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456

題意：
阿狸的國家有n個城市, 現在國家需要在某些城市對之間建立一些貿易路線, 使得整個國家的任意兩個城市都直接或間接的連通. 爲了省錢, 每兩個城市之間最多只能有一條直接的貿易路徑. 對於兩個建立路線的方案, 如果存在一個城市對, 在兩個方案中是否建立路線不一樣, 那麼這兩個方案就是不同的, 否則就是相同的. 現在你需要求出一共有多少不同的方案。

換句話說, 你需要求出n個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目。

由於這個數字可能非常大, 你只需要輸出方案數mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可。

數據範圍
n <= 130000

題解：
令gi$g_i$ 爲i$i$ 個點的圖的數量，則gi=2n(n−1)2$g_i=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ ，令fi$f_i$ 爲i$i$ 個點的簡單無向連通圖數目，有：

fi=gi−∑j=1i−1fj∗(i−1j−1)∗gi−j$$f_i=g_i-\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j-1})\ast g_{i-j}$$

對於減掉的那個式子：
∑j=1i−1fj∗(i−1j−1)∗gi−j=∑j=1i−1(i−1)!(j−1)!(i−j)!∗fj∗gi−j=(i−1)!∑j=1i−1fj(j−1)!∗gi−j(i−j)!$\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j-1})\ast g_{i-j}=\sum _{j=1}^{i-1}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}\ast f_j\ast g_{i-j}=(i-1)!\sum _{j=1}^{i-1}\frac{f_j}{(j-1)!}\ast \frac{g_{i-j}}{(i-j)!}$
若令Fi=fi(i−1)!$F_i=\frac{f_i}{(i-1)!}$ ，Gi=gi−j(i−j)!$G_i=\frac{g_{i-j}}{(i-j)!}$
則fi=gi−(i−1)!∑j=1i−1Fj∗Gi−j$f_i=g_i-(i-1)!\sum _{j=1}^{i-1}{F}_j\ast G_{i-j}$ ，如果讓未算出的Fn=F0=0$F_n=F_0=0$ ，且G0=0$G_0=0$ ，減掉的就完全轉化爲了標準卷積形式，可以使用NTT了：
fi=gi−(i−1)!∑j=0iFj∗Gi−j$f_i=g_i-(i-1)!\sum _{j=0}^i{F}_j\ast G_{i-j}$
由於計算出fi$f_i$ 需要用到f0...fi−1$f_0...f_{i-1}$ ，所以用分治NTT即可。

說起來好像很簡單的樣子，然而調題調一天…

第一個錯誤：wi沒有賦初值爲1。
第二個錯誤：預處理g數組時因爲指數是LL乘爆了。發現這個問題是因爲 44824這組數據過不去。

要注意的地方大概是分治時計算[lf,mid]的f對[mid+1,rg]的貢獻時，要想清楚哪一位具體對應哪一位。因爲lf需要加上(rg-lf)纔等於rg，所以用於相乘的g數組是[1,rg-lf]。

代碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1004535809;//479*2^21+1 g=3
const int N=600050;
int G=3;
int n,fac[N],inv[N],f[N],a[N],g[N],b[N],R[N],iv[N],w[N],_w[N];
int modpow(int A,LL B)
{
    int ret=1; int base=A;
    for(;B;B>>=1)
    {
        if(B&1) ret=(1LL*ret*base)%mod;
        base=(1LL*base*base)%mod;
    }
    return ret;
}
void NTT(int *x,int flag,int len)
{
    for(int i=0;i<len;i++) if(i<R[i]) swap(x[i],x[R[i]]);
    for(int m=2;m<=len;m<<=1)
    {
        int l=m>>1; int wn,wi=1;    
        if(flag==1) wn=w[m]; else wn=_w[m];
        for(int j=0;j<len;j+=m)
        {
            wi=1;
            for(int i=0;i<l;i++)
            {
                int y=(1LL*wi*x[i+j+l])%mod;
                x[i+j+l]=(x[i+j]-y+mod)%mod;
                x[i+j]=(x[i+j]+y)%mod;
                wi=(1LL*wi*wn)%mod;
            }
        }

    }
    if(flag==-1) for(int i=0;i<len;i++) x[i]=(1LL*x[i]*iv[len])%mod;
}
void solve(int lf,int rg)
{
    if(lf==rg) {f[lf]=(g[lf]-(1LL*f[lf]*fac[lf-1])%mod+mod)%mod; return;}
    int mid=(lf+rg)>>1;
    solve(lf,mid);
    int len=1,p=0; for(;len<2*(rg-lf+1);len<<=1,p++);
    R[0]=0; for(int i=1;i<len;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
    for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=b[i]=0;
    for(int i=lf;i<=mid;i++) a[i-lf+1]=(1LL*f[i]*inv[i-1])%mod;
    for(int i=1;i<=rg-lf;i++) b[i]=(1LL*g[i]*inv[i])%mod;
    NTT(a,1,len); NTT(b,1,len);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=(1LL*a[i]*b[i])%mod;
    NTT(a,-1,len);
    for(int i=mid+1;i<=rg;i++) f[i]=(f[i]+a[i-lf+1])%mod;
    solve(mid+1,rg);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n); 
    inv[0]=fac[0]=inv[1]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=4*n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=modpow(fac[i],mod-2);
    g[0]=0; for(int i=1;i<=4*n;i++) g[i]=modpow(2,(1LL*i*(i-1)/2LL));
    for(int i=1,p=0;i<=4*n;i<<=1,p++)
    {w[i]=modpow(G,(mod-1)/i),_w[i]=modpow(w[i],mod-2),iv[i]=modpow(i,mod-2);}
    solve(1,n);
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}