bzoj4013: [HNOI2015]實驗比較

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bzoj4013

題目描述

Description

小D 被邀請到實驗室，做一個跟圖片質量評價相關的主觀實驗。實驗用到的圖片集一共有 N 張圖片，編號爲 1 到 N。實驗分若干輪進行，在每輪實驗中，小 D會被要求觀看某兩張隨機選取的圖片， 然後小D 需要根據他自己主觀上的判斷確定這兩張圖片誰好誰壞，或者這兩張圖片質量差不多。 用符號“<”、“>”和“=”表示圖片 x和 y（x、y爲圖片編號）之間的比較：如果上下文中 x 和 y 是圖片編號，則 x < y 表示圖片 x“質量優於”y，x>y 表示圖片 x“質量差於”y，x=y表示圖片 x和 y“質量相同”；也就是說，這種上下文中，“<”、“>”、“=”分別是質量優於、質量差於、質量相同的意思；在其他上下文中，這三個符號分別是小於、大於、等於的含義。圖片質量比較的推理規則（在 x和y是圖片編號的上下文中）：（1）x < y等價於 y > x。（2）若 x < y 且y = z，則x < z。（3）若x < y且 x = z，則 z < y。（4）x=y等價於 y=x。（5）若x=y且 y=z，則x=z。 實驗中，小 D 需要對一些圖片對(x, y)，給出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主觀判斷。小D 在做完實驗後， 忽然對這個基於局部比較的實驗的一些全局性質產生了興趣。在主觀實驗數據給定的情形下，定義這 N 張圖片的一個合法質量序列爲形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi爲圖片編號，x1,x2,…,xN兩兩互不相同（即不存在重複編號），Ri爲<或=，“合法”是指這個圖片質量序列與任何一對主觀實驗給出的判斷不衝突。 例如： 質量序列3 < 1 = 2 與主觀判斷“3 > 1，3 = 2”衝突（因爲質量序列中 3<1 且1=2，從而3<2，這與主觀判斷中的 3=2 衝突；同時質量序列中的 3<1 與主觀判斷中的 3>1 衝突） ，但與主觀判斷“2 = 1，3 < 2” 不衝突；因此給定主觀判斷“3>1，3=2”時，1<3=2 和1<2=3 都是合法的質量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的質量序列。由於實驗已經做完一段時間了，小D 已經忘了一部分主觀實驗的數據。對每張圖片 i，小 D 都最多隻記住了某一張質量不比 i 差的另一張圖片 Ki。這些小 D 仍然記得的質量判斷一共有 M 條（0 <= M <= N），其中第i 條涉及的圖片對爲(KXi, Xi)，判斷要麼是KXi < Xi ，要麼是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以這M 條自己還記得的質量判斷作爲他的所有主觀數據。現在，基於這些主觀數據，我們希望你幫小 D 求出這 N 張圖片一共有多少個不同的合法質量序列。我們規定：如果質量序列中出現“x = y”，那麼序列中交換 x和y的位置後仍是同一個序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一個序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一個序列，而1 < 2 < 3 與1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由於合法的圖片質量序列可能很多， 所以你需要輸出答案對10^9 + 7 取模的結果

Input

第一行兩個正整數N,M，分別代表圖片總數和小D仍然記得的判斷的條數；
接下來M行，每行一條判斷，每條判斷形如”x < y”或者”x = y”。

Output

輸出僅一行，包含一個正整數，表示合法質量序列的數目對 10^9+7取模的結果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

不同的合法序列共5個，如下所示：
1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的數據滿足N<=100。

題解

對於等於關係，我們用並查集維護一下。若i優於j則由i在並查集中的祖先向j在並查集中的祖先連一條有向邊。題目保證小 D 都最多隻記住了某一張質量不比 i 差的另一張圖片 Ki，也就是說每個點的入邊只有1條。這樣就是個森林。加入一個虛點就可以做樹DP了。

記f[i][j] 表示以i爲根的子樹中合法序列長度爲j時的方案數（這裏我們將等於關係的元素都看成一個點，也就是說j<=i的子樹大小）。假設i有兩個兒子u和v。我們考慮將u中長度爲j的序列和v中長度爲k的序列合併成長度爲p的序列。顯然max（j,k）<=p<=j+k。那麼相當於將k中p-j個元素插入j個元素中（一個位置可以插多個）有Cp−jp 種方案，再將k中剩餘的k-(p-j)個元素與j個元素合併（用=連接）方案數爲Ck−(p−j)j 。所以有f[i][p]=f[u][j]∗f[v][k]∗Ck−(p−j)j∗Cp−jp 若i有多個兒子，依次合併即可。

---

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

#define N 110
#define P 1000000007
struct edge{int x,next;}e[N];
struct node{int x,y;}q[N];
int first[N],fa[N],du[N],f[N][N],g[N],size[N],c[N][N],cnt,tot,n,m,x,y,ans;
char s[10];

int get(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=get(fa[x]);}
void add(int x,int y){
    e[++tot].x=y;
    e[tot].next=first[x];
    first[x]=tot;
}
void dfs(int x,int y){
    size[x]=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    if(e[i].x!=y){
        dfs(e[i].x,x);
        if(size[x]==1)
        for(int j=1;j<=size[e[i].x];j++) g[j]=f[e[i].x][j];
        else {
            for(int j=1;j<size[x];j++)
             for(int k=1;k<=size[e[i].x];k++)
              for(int p=max(j,k);p<=j+k;p++)
              g[p]=(g[p]+(long long)f[x][j]*f[e[i].x][k]%P*c[p][p-j]%P*c[j][k-p+j]%P)%P;
        }
        size[x]+=size[e[i].x];
        for(int j=1;j<size[x];j++) f[x][j]=g[j],g[j]=0;
    }
    for(int i=size[x];i>1;i--) f[x][i]=f[x][i-1];
    f[x][1]=(size[x]==1);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%s%d",&x,s,&y);
        if(s[0]=='=') fa[get(x)]=get(y);
        else {
            if(s[0]=='>') swap(x,y);
            q[++cnt].x=x;
            q[cnt].y=y;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        add(get(q[i].x),get(q[i].y));
        du[get(q[i].y)]++;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(fa[i]==i&&du[i]==0) add(0,i);
    dfs(0,0);
    for(int i=2;i<=size[0];i++) ans=(ans+f[0][i])%P;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}