一道經典概率題的終極解法——後驗事實與先驗概率的關係

四、一道經典概率題的終極解法——後驗事實與先驗概率的關係

經典題目：

有三個門，裏面有一個裏有汽車，如果選對了就可以得到這輛車，當應試者選定一個門之後，主持人打開了另外一個門，空的。問應試者要不要換一個選擇。假設主持人知道車所在的那個門。

經典解法：

第一次選擇正確的概率是1/3，因此汽車在另外兩個門裏的概率是2/3。主持人指出一個門，如果你開始選錯了(2/3概率)，則剩下的那個門裏100%有汽車；如果你第一次選對(1/3)了，剩下那個門裏100%沒汽車。
所以主持人提示之後，你不換的話正確概率是1/3*100%+2/3*0=1/3，你換的話正確概率是1/3*0+2/3*100%=2/3。

對於這個解法的詰問就在於，現在主持人已經打開一個空門了（而且主持人是有意打開這個門的），在這一“信息” 出現後，還能說當初選錯的概率是2/3嗎？這一後驗事實不會改變我們對於先驗概率的看法嗎？答案是會的。更具體地說，主持人打開一扇門後，對當初選擇錯誤的概率估計不一定等於2/3。

從頭說起。假設我選了B門，假設主持人打開了C門，那麼他在什麼情況下會打開C門呢？
若A有車（先驗概率P=1/3），那主持人100%打開C門（他顯然不會打開B）；
若B有車（先驗概率P=1/3），那此時主持人有A和C兩個選擇，假設他以K的概率打開C（一般K=1/2，但我們暫把它設成變量）；
若C有車（先驗概率P=1/3），那主持人打開C的概率爲0（只要他不傻。。。）

已知他打開了C，那根據貝葉斯公式——這裏P（M|N）表示N事件發生時M事件發生的概率：

P（B有車|C打開）= P（C打開|B有車）* p（B有車）/ P（C打開）

 

P（C打開|B有車）* p（B有車）

= P（C打開|A有車）* p（A有車）+ P（C打開|B有車）* p（B有車）

K * 1/3

= 1 * 1/3 + K * 1/3

K

= -------

K + 1
該值何時等於1/3 呢（也就是經典解法裏的假設）？ 只有 K=1/2 時。也就是一般情況下。但如果主持人有偏好，比方說他就是喜歡打開右邊的門（假設C在右邊），設K=3/4， 那麼B有車的概率就變成了 3/5，不再是1/3，後驗事實改變了先驗概率的估計！

但這並不改變正確的選擇，我們仍然應該改選A門， 解釋如下：

P（A有車|C打開）= P（C打開|A有車）* p（A有車）/P（C打開）

P（C打開|A有車）* p（A有車）

= ------------------------------------------------------------

P（C打開|A有車）* p（A有車）+ P（C打開|B有車）* p（B有車）

 

= 1 * 1/3/1 * 1/3 + K * 1/3

 

=1/k+1

而K < 1（假設主持人沒有極端到非C不選的程度），所以永遠有 P(B有車|C打開) < P( A有車|C打開).A有車的概率永遠比B大，我們還是應該改變選擇。