全排列生成算法

全排列生成算法

概述

​ 全排列問題，簡單來說，就是由n個不同元素組成的序列，從中取出n個元素，按不同順序排列起來。如：”123”，它的全排列爲，”123”，”132”，”213”，”231”，”312”，”321”，總共有n!種結果。

解法一：回溯法求解

​ 對於求解所有可能情況的問題，回溯法不失爲一種可以解決問題的方法。對於全排列生成，可以把序列的每一個字符作爲一層，也可以說是，固定一個字符，對剩餘的其他字符求解全排列，舉個例子：

“123”

固定1，求解”23”的全排列，與1組合，則是以1開頭的，所有可能的排列；

固定2，求解”13”的全排列，與2組合，則是以2開頭的，所有可能的排列；

固定3，求解”12”的全排列，與3組合，則是以3開頭的，所有可能的排列。

​ 當序列僅有一個元素時，全排列只有一種，是它本身。回溯法求全排列的過程，求解完固定一個字符的全排列之後，回溯到上層，再固定另一個求解的過程。

​ 具體代碼如下：

void cal_all_permutation(char *perm, int from, int to)
{
    if (to <= 1) {
        return;
    }

    if (from == to) {
        int i;
        for (i = 0; i <= to; ++i) {
            printf("%c", perm[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    else {
        int i;
        for (i = from; i <= to; ++i) {
            std::swap(perm[i], perm[from]);
            cal_all_permutation(perm, from + 1, to);
            std::swap(perm[i], perm[from]);  //回溯過程
        }
    }
}

解法二：字典序排序

​ 字典序排序算是解決全排列生成問題的一種很好的方法，根據字符串各元素的字典序，可以確定兩個字符串的大小關係。

​ 這裏要先確定兩個前提：

1. 字符串初始狀態必須經過升序排序；
2. 字符串初始狀態是最小的一種排列。

​ 對於1，字典序排序解決全排列問題，核心思想是，在求解下一個排列時，下一個排列恰好比當前排列大，並且所求的下一個排列是比當前排列大的所有排列中最小的，當前序列變爲降序排序之後，就沒有比其更大的排列了，全排列所有情況求解得到。

​ 對於2，字典序確定兩個字符串大小時，是一次比較各個相應位置上的元素的大小，對於位置i, p1[i] > p2[i]則p1大於p2，同理，p1[i] < p2[i]則p1小於p2，僅有兩者字符完全相同的情況下才相等。因此，當初始狀態時，升序排序之後，任意字符串與其比較時，對於每個位置，並不可能再找出一個比初始狀態的該位置元素更小的元素(注意，排列問題中，各元素是不能重複的)。所以初始狀態必定爲最小排列。以下則是字典序排序具體描述：

字典序排序算法描述：

1. 從序列sz - 2位置開始(序列索引從0開始，末尾元素索引爲sz - 1)，尋找第1個使得perm[i] < perm[i + 1]成立的元素，並記錄索引i；
2. 從序列sz - 1位置開始，在字典序大於perm[i]的元素中，尋找最小的那個元素，並記錄索引j；
3. 交換perm[i]與perm[j]；
4. 反轉perm[i]至perm[sz - 1]之間的子序列，即i + 1 -> sz - 1。

bool cal_next_permutation(char *perm, int sz)
{
    int i;
    //尋找第1個使得perm[i] < perm[i + 1]成立的元素
    for (i = sz - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i) { 
        ;
    }

    //未找到，說明當前排列爲降序排序，不可能有更大的排列了
    if (i < 0) {
        return false;
    }

    int j;
    //尋找大於第一步中找到的元素的最小值
    for (j = sz - 1; (j > i) && (perm[j] <= perm[i]); --j) {
        ;
    }

    std::swap(perm[i], perm[j]);
    reverse(perm + i + 1, perm + sz);
    return true;
}