poj1061

題目不難，擴展歐幾里德算法求解模線性方程。

大致題意：給定兩隻青蛙的位置x、y，並給定跳躍的距離m、n，兩隻青蛙在長度爲L的圓形軌道上跳躍。但兩隻青蛙跳到同一位置時說明可以相遇，否則不能相遇。題目要求由給定的參數判斷青蛙是否可以相遇，若可以相遇則輸出最小的跳躍次數，否則輸出“Impossible“。

典型的擴展歐幾里德算法求解模線性方程。

分析如下：

假設兩隻青蛙可以相遇，並且最小的跳躍次數爲t。則有(X+mt)%L=(Y+nt)%L成立，其中L爲軌道長度。

 (X+mt)%L=(Y+nt)%L<=>(X+mt)%L-(Y+nt)%L=0<=>(X-Y+mt-nt)%L=0<=>(X-Y+(m-n)*t)%L=0<=>(m-n)*t=(Y-X)%L或(n-m)*t=(X-Y)%L

(n-m)*t=(X-Y)%L爲典型的模線性方程：

令a=n-m，b=X-Y，n=L，x=t。則轉化爲方程：ax=b%n。

那麼問題轉化爲方程ax=b%n是否有解，若無解則說明不可能相遇，否則求出該方程最小的整數解，即爲最小的跳躍次數。

關於擴展歐幾里德算法如何求解模線性方程，我的博客中有詳細說明，這裏就不再敘述了。

下面是代碼：156K+32MS

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
__int64 x,y,m,n,L;
__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){ //擴展歐幾里德算法求解方程ax+by=GCD(a,b)的一個解(x,y)
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	__int64 r=exgcd(b,a%b,x,y);
	__int64 t=y;
	y=x-(a/b)*y;
	x=t;
	return r;
}
int main(){
	scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&L); //輸入參數
	__int64 a,b,tx,ty;
	if(m>n) //a要求大於等於0
		a=m-n,b=y-x;
	else
		a=n-m,b=x-y;
	__int64 d=exgcd(a,L,tx,ty); //最大公約數
	if(b%d!=0) //若b%d不爲0，則方程無解
		printf("Impossible\n");
	else{ //否則輸出最小的整數解決：(ans%s+s)%s ，ans=tx*(b/d),s=n/d;
		__int64 s=L/d;
		tx=tx*(b/d);
		printf("%I64d\n",(tx%s+s)%s);
	}
	return 0;
}