poj1061

题目不难，扩展欧几里德算法求解模线性方程。

大致题意：给定两只青蛙的位置x、y，并给定跳跃的距离m、n，两只青蛙在长度为L的圆形轨道上跳跃。但两只青蛙跳到同一位置时说明可以相遇，否则不能相遇。题目要求由给定的参数判断青蛙是否可以相遇，若可以相遇则输出最小的跳跃次数，否则输出“Impossible“。

典型的扩展欧几里德算法求解模线性方程。

分析如下：

假设两只青蛙可以相遇，并且最小的跳跃次数为t。则有(X+mt)%L=(Y+nt)%L成立，其中L为轨道长度。

 (X+mt)%L=(Y+nt)%L<=>(X+mt)%L-(Y+nt)%L=0<=>(X-Y+mt-nt)%L=0<=>(X-Y+(m-n)*t)%L=0<=>(m-n)*t=(Y-X)%L或(n-m)*t=(X-Y)%L

(n-m)*t=(X-Y)%L为典型的模线性方程：

令a=n-m，b=X-Y，n=L，x=t。则转化为方程：ax=b%n。

那么问题转化为方程ax=b%n是否有解，若无解则说明不可能相遇，否则求出该方程最小的整数解，即为最小的跳跃次数。

关于扩展欧几里德算法如何求解模线性方程，我的博客中有详细说明，这里就不再叙述了。

下面是代码：156K+32MS

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
__int64 x,y,m,n,L;
__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){ //扩展欧几里德算法求解方程ax+by=GCD(a,b)的一个解(x,y)
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	__int64 r=exgcd(b,a%b,x,y);
	__int64 t=y;
	y=x-(a/b)*y;
	x=t;
	return r;
}
int main(){
	scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&L); //输入参数
	__int64 a,b,tx,ty;
	if(m>n) //a要求大于等于0
		a=m-n,b=y-x;
	else
		a=n-m,b=x-y;
	__int64 d=exgcd(a,L,tx,ty); //最大公约数
	if(b%d!=0) //若b%d不为0，则方程无解
		printf("Impossible\n");
	else{ //否则输出最小的整数解决：(ans%s+s)%s ，ans=tx*(b/d),s=n/d;
		__int64 s=L/d;
		tx=tx*(b/d);
		printf("%I64d\n",(tx%s+s)%s);
	}
	return 0;
}