考研數學一基礎技巧題彙總

本篇博客裏博主總結了歷年真題、模擬題中容易忽視的基礎與技巧：

• 輕裝上陣很重要！希望大家熟練掌握以下每個知識點。
• 本篇博客側重於基礎部分，同時還有一些不常考，但考題很簡單的知識點.
• 但是考研數學題的思路往往是難點，甚至有一些非常不容易想到的點，比如： 看不懂的積分必用分部積分法，看不懂的級數必用等價無窮小，看不懂的概率題就必定換成F(x) 等等…我把這些寫成了博客，稱爲"考研數學高階技巧題彙總"，敬請期待。

複習建議：看着目錄，默寫答案，全部寫完後查看答案並更正，後期保持記憶至少每週2次，直至考試前夕。答案部分博主還在寫…內容有點多，敬請期待，$\ge \varepsilon \le$（像不像切比雪夫不等式，hhh）

高數（43）

1. 泰勒展開式

2. 旋轉曲線公式

3. 麥克勞林展開式

4. f(x) 爲周期函數

5. 週期爲 2l 的函數傅氏展開

6. 二型曲線積分的積分與路徑無關

7. 可微表達式

8. z=f(x,y) 中 dz|(x,y) 的表達式

9. u=f(x,y,z) 在 P₀ (x₀ , y₀ , z₀) 處沿 $\xrightarrow[AB]{}$ 的方向導數

   • 其中 AB = {cos$\alpha$, cos$\beta$, cos$\gamma$}
   • 或其中 AB = {a, b, c}

10. z=f(x,y) 在 P₀ (x₀ , y₀) 處的梯度

11. $\xrightarrow[A]{}$ = {P, Q, R}，則$\xrightarrow[A]{}$ 在 P₀ (x₀ , y₀ , z₀) 處的散度值

12. $\xrightarrow[A]{}$ = {P, Q, R}，則$\xrightarrow[A]{}$ 在 P₀ (x₀ , y₀ , z₀) 處的旋度值

13. 曲線
    $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x,y,z \right) =0\\G\left( x,y,z \right) =0\\\end{array} \right.$
    繞某一座標軸旋轉的旋轉方程

14. p級數

15. 交錯級數判斂

16. 中值定理中構造輔助函數 F(x) 的思路

17. n $\rightarrow$ $\infty$ 的重要極限表達式

18. 等價無窮小階數判斷

19. 極限 $\lim_{n\rightarrow \infty}$$\sqrt[n]{a^n,b^n,c^n...}$ 的值

20. 對於任何函數f(xy), 有$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\ = \frac{\text{d}f}{\text{d}y}$ (即 $y'_x=y'_y$) 的原理

21. 圖像題需要平移座標

22. $\int_a^b{te^t\text{d}t}=?$

23. $\left\{ \begin{array}{l}x\rightarrow x_0\\x\rightarrow \infty\\\end{array} \right.$ 廣義積分斂散性判別

24. 三角函數求和公式

25. 三角函數和差化積公式

26. 曲率公式

27. 曲率半徑公式

28. 在 [a, b] 上 $F\left( x \right) =\int_a^x{f\left( x \right) \text{d}x}$ 連續與可導的判別式

29. 已知 f(x,y) 的表達式, 則$f_x'\left( 0,0 \right)$ 的表達式

30. 連續，可微，編導連續，偏導存在 之間的關係

31. 隱函數存在定理

32. 歐拉方程

33. 證 f(x,y) 可微(二重極限存在性證明)

34. 求封閉局域D內( $f\left( x_0,y_0 \right) \le D$ )的最值

35. $f_+'\left( x_0 \right)$ 與 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f\left( x \right)$ 的區別

36. $\begin{array}{l} f\left( x \right) \text{在}x\in \left( a,b \right) \text{上的弧長公式}\left( \text{直角座標系} \right)\\ r\text{(}\varTheta \text{)在}\varTheta \in \left( \alpha ,\beta \right) \text{上的弧長公式}\left( 極座標系 \right)\\ \end{array}$

37. $f\left( x \right)$, $f'\left( x \right)$, $\int_a^x{f\left( x \right) \text{d}x}$, $\int_0^x{f\left( x \right) \text{d}x}$ 之間的奇偶性關係

38. $O\left( x^3 \right)$ 含義

39. f(x) 的週期性

40. 開區間有界性定理

41. 曲線曲面公式彙總

42. 點到平面$Ax+By+Cz=D$ 的距離

43. 繞x, y軸旋轉圍成的體積公式

線代（13）

1. 等價,相似,合同辨別條件

2. 相似對角化判別

3. 方程組$A_{m*n}x_{n*1}$中$x$ $\left\{ \begin{array}{l}\text{同解}\\\text{公共解}\\ \text{唯一解}\\ \text{無解}\\ \text{無窮多解}\\ \end{array} \right.$ 與秩的關係

4. 求兩個方程$\left\{ \begin{array}{l} Bx=0\\ Ax=0\\ \end{array} \right.$ 的公共解

5. 若$f\left( x_1,x_2,x_3 \right) =\left( ax_1+bx_2+cx_3 \right) ^2+\left( dx_1+ex_2+fx_3 \right) ^2+\left( gx_1+hx_2+ix_3 \right) ^2$ 正定,則滿足的條件有什麼

6. $trA$ 的公式

7. 克拉默法則

8. 分塊矩陣求行列式

9. 通過 $\lambda _A=\lambda _B$ 判斷 $A\sim B$

10. 判斷下列秩的關係$\left\{ \begin{array}{l} A+B\text{與}A,B\\ A-B\text{與}A,B\\ AB\text{與}A,B\\ A^*\text{與}A,B\\ A^TA\text{與}A\\ \end{array} \right.$

11. $AB=0$,則可得與秩有關的等式

12. 若$Ax=0$與$Bx=0$爲同解方程組,則可得秩的等式

13. $A_{m*n}x=0$有k個線性無關的解,則可得 $r\left( A \right)$ 的取值範圍

概率（18）

1. 伽馬函數

2. 高斯曲線

3. 切比雪夫不等式

4. 中心極限定理

5. $\frac{\text{d}L\left( \varTheta \right)}{\text{d}\varTheta}$ 在最大似然估計中無法得$0$

6. $\left\{ \begin{array}{l} \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}\\ x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right)\\ \end{array} \right.$,則$E\left( \bar{x}-x_i \right)$, $D\left( \bar{x}-x_i \right)$的值爲多少

7. 若$x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$,則${n}\sum_{i=1}^n{x_i}$服從什麼分佈?$\bar{x}$服從什麼分佈?$ax_1+bx_2$服從什麼分佈?$ax_1-bx_2$服從什麼分佈?

8. 用$F(x)$表示這四個式子$\left\{ \begin{array}{l} P\left\{ \max \left\{ X,Y \right\} \ge a \right\}\\ P\left\{ \max \left\{ X,Y \right\} \le a \right\}\\ P\left\{ \min \left\{ X,Y \right\} \ge a \right\}\\ P\left\{ \min \left\{ X,Y \right\} \le a \right\}\\ \end{array} \right.$

9. 檢驗水平$\alpha$的含義

10. 數理統計部分的6個推導式

11. 求$Cov(X,Y)$的方法

12. 概率分佈可加性定理

13. $\bar{x}$與$S^2$的關係是什麼? 若$x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$,則$E\left( S^2 \right)=?$$D\left( S^2 \right)=?$

14. $\max \left\{ X,Y \right\}*\min \left\{ X,Y \right\}=?$

15. 若$x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$,則$P\left\{ |x-\mu |<a \right\} =?$(用$\varPhi \left( x \right)$表示)

16. 設$f\left( x,y \right) =\left\{ \begin{array}{l} g\left( x,y \right) ,x\in R,y\in R\\ 0,\text{其他}\\ \end{array} \right.$,則$P\left\{ x>\frac{1}{2}|y=3 \right\}$值爲多少

17. $\left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{xe^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{x^2e^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{x^ne^{-x}dx}=?\\ \end{array} \right.$

18. $P\left( A\bar{B} \right)=?$