計算流體力學簡介(九)——拉瓦爾噴管模擬

拉瓦爾噴管簡介

如圖所示拉瓦爾噴管爲以收縮-擴張管道，入口速度爲亞音速，壓縮性較差，在收縮段受管壁收縮擠壓作用加速，在最窄的喉部達到音速。隨着氣體速度增大壓縮性逐漸增加，在喉部以後管道擴張使得氣體迅速膨脹，密度減小，流速繼續增加，達到超音速。

控制方程

拉瓦爾噴管由於管道形狀發生變化因此需要修改方程，這裏重新推導連續性方程。
首先提一下原本一維流動的連續性方程，在管道中任意位置取一控制體。控制體左側的變量爲$\rho_0,u_0,A_0$，右側爲$\rho_1,u_1,A_1$。則控制體內的總質量變化應爲
$\frac{A\rho dx}{dt}=\rho_1u_1A_1-\rho_0u_0A_0$
於是有
$\frac{d\rho}{dt}=\frac{d(\rho uA)}{Adx}=\frac{d(\rho u)}{dx}+\frac{A'}{A}(\rho u)$
動量方程和能量方程方法基本類似，其中能量方程和連續方程分析完全相同，動量方程略爲複雜一些，在安德森的計算流體力學中有詳細推導，具體方程如下
$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{A'}{A}(\rho u)=0\\ \frac{\partial (\rho u)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u^2+p)}{\partial x}+\frac{A'}{A}\rho u^2=0\\ \frac{\partial E}{\partial t}+\frac{\partial u(E+p)}{\partial x}+\frac{A'}{A}(u(E+p))=0$
這裏假設拉瓦爾噴管的外形是雙曲線滿足，$A(x)=\sqrt{\frac{x^2}{25}+1}$，${A'}=\frac{x}{\sqrt{25(x^2+25)}}$
$u=\left[\begin{matrix} \rho \\ \rho u\\ E \end{matrix}\right], F=\left[\begin{matrix} \rho u\\ \rho u^2+p\\ u(E+p) \end{matrix}\right], G=\left[\begin{matrix} \rho u \\ \rho u^2\\ u(E+p) \end{matrix}\right], E=\frac{p}{\gamma-1}+\frac{1}{2}\rho u^2\\ \ \\ \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{A'}{A}G=0$

數值方法

使用前面的激波管問題中帶限制器的格式，分裂方式也不需要修改。

邊界條件

這裏剛好趁着這個問題再說一下無反射邊界。激波管問題中提到對於無粘可壓縮流動，流動中有三個黎曼不變量，分別以$u,u+c,u-c$傳播，對於亞音速流動而言必有$u+c>0,u-c<0$也就是說流動總有從左到右和從右到左兩個方向的信息，在邊界上就是必然有從邊界外到內場的信息，和內場傳到邊界外的信息。如果這些信息在邊界上與內場不匹配就會產生反射，從而在內場出現雜波。

亞音速入口

對於亞音速入口而言，特徵速度爲$u,u+c$的黎曼不變量是由邊界外進入內場的，而$u-c$是由內場傳到入口上游去的。$u,u+c,u-c$三個特徵速度對應的黎曼不變量分別爲$R_1=c_vln(p/\rho^\gamma),R_2=u+\frac{2c}{\gamma-1},R_3=u-\frac{2c}{\gamma-1}$
我們給定入口通常直接給定原變量形式即$\rho,u,p$這三個參數和三個黎曼不變量一一對應。前面提到邊界的三個黎曼變量兩個變量由邊界直接認爲給出，一個由內場決定。換言之就是入口的$\rho,u,p$中只能固定兩個量，另一個量由內場的值和邊界給出的兩個值計算出來。我這裏就固定$\rho,p$兩個變量，固定$\rho=1,p=2$，速度利用黎曼不變量得出。記內場第一個點的$\rho_0,u_0,p_0$計算出的$R_3=u_0-\frac{2c_0}{\gamma-1}$，邊界上的$R_3=u_b-\frac{2c_b}{\gamma-1}$其中$c_0=\sqrt{\gamma\frac{p_0}{\rho_0}},c_b=\sqrt{\gamma\frac{p_b}{\rho_b}}$，由邊界和內場的$R_3$相等得到
$u_b=u_0-\frac{2c_0}{\gamma-1}+\frac{2c_b}{\gamma-1}$這樣就得到邊界的$\rho_b=1,u_b=u_0-\frac{2c_0}{\gamma-1}+\frac{2c_b}{\gamma-1},p_b=2$於是就得到了固定壓力和密度的亞音速入口的邊界條件。

亞音速出口

亞音速出口與亞音速入口相反$u,u+c$兩個特徵速度的黎曼不變量由內場推出，而$u-c$由邊界給定，換言之就是$\rho,u,p$中兩個變量由內場計算，一個變量給定，這裏給定$p=1$，於是由
內場最後一個點上$R_1=c_vln(p_n/\rho_n^\gamma),R_2=u_n+\frac{2c_n}{\gamma-1}$
邊界上$R_1=c_vln(p_b/\rho_b^\gamma),R_2=u_b+\frac{2c_b}{\gamma-1}$
得到固定壓力的亞音速出口的邊界爲$\rho_b=(\rho_n^\gamma/p_n)^{\frac{1}{\gamma}},u_b=u_n+\frac{2c_n}{\gamma-1}-\frac{2c_b}{\gamma-1},p_b=1$

超音速出口

超音速出口相比於亞音速出口就容易多了，因爲超音速條件下$u,u+c,u-c$都爲正，因此信息只出不進，於是直接有超音速出口邊界爲$\rho_b=\rho_n,u_b=u_n,p_b=p_n$

本文使用的邊界

本文的入口是亞音速入口，而出口由於初場給定的是全場速度爲0，密度壓力均爲1，因此開始流體受壓力作用從0開始加速，開始時出口是亞音速的，但是隨着流動不斷發展速度不斷增大，最終達到超音速，於是在出口處做一次判斷，內場最後一個點的$u_n<c_n$時使用亞音速出口，否則使用超音速出口。

數值計算

計算代碼如下

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#define gamma 1.4
#define pa_in 6
#define p_in 2
#define u_in 1
#define p_out 1
const int NE=100,//空間點數
NS=15000,
SKIP_STEP=1500;//時間步數
const double rb=-5,l=10,//計算域左邊界，計算域長度
dt=0.001,//時間步長
dx=l/NE;
using namespace std;
void F(vector<double> &_F,double w1,double w2,double w3)
{
    double u=w2/w1,t=u*w2;
    _F[0]=w2;
    _F[1]=(3-gamma)*t/2+(gamma-1)*w3;
    _F[2]=(1-gamma)/2*u*t+gamma*u*w3;
}
void F_div(vector<double>::iterator &f,const vector<double> &F,double w1,double w2,double w3)
{
    *f=F[0];
    f++;
    *f=F[1];
    f++;
    *f=F[2];
    f++;
}
double max(double x1,double x2)
{
    if(x1>x2) return x1;
    else return x2;
}
double phi(double r)
{
    if(abs(r)>1) return 1;
    else return abs(r);
}
double A(double x)
{
    return sqrt(x*x/25+1);
}
double dAdx(double x)
{
    return x/sqrt(625+25*x*x);
}
void advance(vector<double>& w1,vector<double>& w2,vector<double>& w3,vector<double>& F_p,vector<double>& F_m)
{
    vector<double> tF(3,0);
    double l=0;
    vector<double>::iterator f_p=F_p.begin(),f_m=F_m.begin();
    for(int i=0;i<w1.size();i++)
    {
        F(tF,w1[i],w2[i],w3[i]);
        double u=w2[i]/w1[i],p=(gamma-1)*(w3[i]-w2[i]*w2[i]/w1[i]*0.5),c=sqrt(gamma*p/w1[i]);
        l=max(max(abs(u+c),abs(u-c)),l);
        F_div(f_p,tF,w1[i],w2[i],w3[i]);
        F_div(f_m,tF,w1[i],w2[i],w3[i]);
    }
    for(int i=0;i<w1.size();i++)
    {
        F_p[3*i]+=l*w1[i];
        F_m[3*i]-=l*w1[i]; 
        F_p[3*i+1]+=l*w2[i];
        F_m[3*i+1]-=l*w2[i];  
        F_p[3*i+2]+=l*w3[i];
        F_m[3*i+2]-=l*w3[i]; 
    }
    double x=rb;
    f_p=F_p.begin()+3,f_m=F_m.begin()+3;
    w1[1]=w1[1]-0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx-0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx;
    f_p++;
    f_m++;
    w2[1]=w2[1]-0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx-0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx;
    f_p++;
    f_m++;
    w3[1]=w3[1]-0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx-0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx;
    f_p++;
    f_m++;
    for(int i=2;i<w1.size()-2;i++)
    {
        x+=dx;
        double r_p=(w1[i]-w1[i-1])/(w1[i-1]-w1[i-2]),
               r_m=(w1[i+2]-w1[i+1])/(w1[i+1]-w1[i]);
               if(w1[i-1]==w1[i-2]) r_p=0;
               if(w1[i+1]==w1[i]) r_m=0;
        w1[i]=w1[i]+(-phi(r_p)*0.25*(3*(*f_p)-4*(*(f_p-3))+*(f_p-6))*dt/dx
                   -(1-phi(r_p))*0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx
                   +phi(r_m)*0.25*(*(f_m+6)-4*(*(f_m+3))+3*(*(f_m)))*dt/dx
                   -(1-phi(r_m))*0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx)
                   -dt*dAdx(x)/A(x)*(*(f_p)+*(f_m))*0.5;
        f_p++;
        f_m++;
        r_p=(w2[i]-w2[i-1])/(w2[i-1]-w2[i-2]),
        r_m=(w2[i+2]-w2[i+1])/(w2[i+1]-w2[i]);
        if(w2[i-1]==w2[i-2]) r_p=0;
        if(w2[i+1]==w2[i]) r_m=0;
        w2[i]=w2[i]+(-phi(r_p)*0.25*(3*(*f_p)-4*(*(f_p-3))+*(f_p-6))*dt/dx
                   -(1-phi(r_p))*0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx
                   +phi(r_m)*0.25*(*(f_m+6)-4*(*(f_m+3))+3*(*(f_m)))*dt/dx
                   -(1-phi(r_m))*0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx)
                   -dt*dAdx(x)/A(x)*w2[i]*w2[i]/w1[i];
        f_p++;
        f_m++;
        r_p=(w3[i]-w3[i-1])/(w3[i-1]-w3[i-2]),
        r_m=(w3[i+2]-w3[i+1])/(w3[i+1]-w3[i]);
        if(w3[i-1]==w3[i-2]) r_p=0;
        if(w3[i+1]==w3[i]) r_m=0;
        w3[i]=w3[i]+(-phi(r_p)*0.25*(3*(*f_p)-4*(*(f_p-3))+*(f_p-6))*dt/dx
                   -(1-phi(r_p))*0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx
                   +phi(r_m)*0.25*(*(f_m+6)-4*(*(f_m+3))+3*(*(f_m)))*dt/dx
                   -(1-phi(r_m))*0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx)
                   -dt*dAdx(x)/A(x)*(*(f_p)+*(f_m))*0.5;
        f_p++;
        f_m++;
    }
    w1[w1.size()-2]=w1[w1.size()-2]-0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx-0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx;
    f_p++;
    f_m++;
    w2[w2.size()-2]=w2[w2.size()-2]-0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx-0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx;
    f_p++;
    f_m++;
    w3[w3.size()-2]=w3[w3.size()-2]-0.5*(*(f_p)-*(f_p-3))*dt/dx-0.5*(*(f_m+3)-*(f_m))*dt/dx;
    f_p++;
    f_m++;
    int i=w1.size()-2;
    double rho=w1[i],u=w2[i]/w1[i],p=(gamma-1)*(w3[i]-w2[i]*w2[i]/w1[i]*0.5),c=sqrt(gamma*p/w1[i]);
	
    if(u-c<-1e-7)
    {
        double R1=p/pow(rho,gamma),R23=2/(gamma-1)*c;
        p=p_out;
        rho=pow(p/R1,1/gamma);
        c=sqrt(gamma*p/rho);
        u=u+R23-2*c/(gamma-1);
        w1[w1.size()-1]=rho;
        w2[w2.size()-1]=u*rho;
        w3[w3.size()-1]=p/(gamma-1)+0.5*u*rho*u;
    }
	
    else
    {
        w1[w1.size()-1]=w1[w1.size()-2];
        w2[w2.size()-1]=w2[w2.size()-2];
        w3[w3.size()-1]=w3[w3.size()-2];
    }
	
    i=1;
    rho=w1[i],u=w2[i]/w1[i],p=(gamma-1)*(w3[i]-w2[i]*w2[i]/w1[i]*0.5),c=sqrt(gamma*p/rho);
    double R3=u-2*c/(gamma-1);

    p=p_in;
    rho=1;
    c=sqrt(gamma*p/rho);
    u=(R3+2*c/(gamma-1));
    w1[0]=rho;
    w2[0]=u*rho;
    w3[0]=p/(gamma-1)+0.5*rho*u*u;
    
}
struct val
{
    const vector<double> &w1,&w2,&w3;
    val(const vector<double>& _w1,const vector<double>& _w2,const vector<double>& _w3):w1(_w1),w2(_w2),w3(_w3){};
};
void init(vector<double> &w1,vector<double> &w2,vector<double> &w3)
{
    int i=0;
    for(;i<w1.size();i++)
    {
        w1[i]=p_out;
        w2[i]=0;
        w3[i]=p_out/(gamma-1); 
    }
    i=1;
    w1[0]=1;
    w2[0]=0;
    w3[0]=p_in/(gamma-1)+0.5*w2[0]*w2[0]/w1[0];
}
ostream& operator<<(ostream& out,const val& Q)
{
    double x=rb-dx*2;
    for(int i=0;i<Q.w1.size();i++)
    {
        x+=dx;
        double rho=Q.w1[i],u=Q.w2[i]/Q.w1[i],p=(gamma-1)*(Q.w3[i]-Q.w2[i]*Q.w2[i]/Q.w1[i]/2);
		double c=sqrt(gamma*p/rho);
        double Ma=u/c;
        out<<i*dx+rb-dx<<'\t'<<rho<<'\t'<<u<<'\t'<<p<<'\t'<<c<<'\n';
    }
    return out;
}
int main()
{
    vector<double> w1(NE+3),w2(NE+3),w3(NE+3),F_p(3*NE+9),F_m(3*NE+9);
    val Q(w1,w2,w3);
    init(w1,w2,w3);
    cout<<w1.size()<<'\t'<<NS/SKIP_STEP<<'\t'<<rb<<'\t'<<l<<'\n';
    cout<<Q<<'\n';
    for(int i=0;i<NS;i++)
    {
        advance(w1,w2,w3,F_p,F_m);
        if(i%SKIP_STEP==0)cout<<Q<<'\n';
    }
    cout<<Q<<'\n';
}

計算結果如下

由於我沒有拉瓦爾噴管的解析解，這裏僅僅驗證了一下拉瓦爾噴管的關係式
$(Ma-1)u'/u=A'/A\\ (\frac{A}{A^*})^2=\frac{1}{Ma^2}[\frac{2}{\gamma+1}(1+\frac{\gamma-1}{2}Ma^2)]^{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}$
將上式左右兩端相減繪製曲線如下，最終結果基本滿足該關係，因此應該問題不大。

拉瓦爾噴管工作狀態與正激波

拉瓦爾噴管根據噴管道出口流體壓力($p_e$)和背景($p_a$)壓力關係，可以分爲多種工作狀態:
1.$p_a=p_e$理想工作狀態，這時氣體恰好完全膨脹，管道出口爲超音速流動，並且離開管道後也不發生膨脹和壓縮，外部擾動無法影響管內流動狀態。
2.$p_a>p_e$欠膨脹狀態，氣體沒有完全膨脹，管道出口爲超音速流動，氣體離開管道後會繼續膨脹一段，直至壓力達到背景壓力，這時同樣外部擾動無法傳入內部
3.$p_a<p_e$過膨脹狀態，氣體在出口處過膨脹，當$p_a,p_e$差別不大時，管口仍爲超音速流動，但是由於出口處氣體壓力小於背景壓力，因此會在管口處形成一系列斜激波，最終使得流出氣體壓力和背景壓力相等；隨着$p_a,p_e$差值的增大，在管道出口處的斜激波會逐漸變爲正激波，繼續增加$p_e-p_a$的值，正激波會向管內移動使得速度由超音速變爲亞音速，這時外部擾動會影響管內流動。隨着出口背景壓力逐漸增大正激波位置逐漸前移，當正激波移至喉部時達到臨界狀態，繼續增加出口背景壓力管內流動將全部保持在亞音速條件下。

根據前面的分析，理想狀態和欠膨脹狀態出口都是超音速流動，因此管道內部計算不受外部狀態影響，至於背景壓力如何管道內流動都是不變的。唯一有區別的是管道外是否發生膨脹，管內流動始終相同。

過膨脹狀態則略有不同，由於管內可能會形成一道正激波，正激波後流動全部是亞音速流動，亞音速出口外部擾動將影響內部流動，這是外部壓力將使得管內流動狀態發生改變。

在計算上的區別就是，欠膨脹和理想狀態最終都是超音速出口，而過膨脹出口總是亞音速的。

這裏我試着算了一下過膨脹狀態

這是入口壓力1.1，出口壓力1時的狀態，可以看到一開始管內出現了激波，說明這時是過膨脹狀態，在喉部後側存在一道正激波，使得速度變爲亞音速。但是我試算了一下不論怎麼減小入口壓力只要出口壓力是1，入口壓力大於1管道內就不可能出現全部亞音速的情況，似乎正激波最終會固定到$x=2$的位置處。具體原因暫時不太清楚，目前估計是入口邊界的原因，似乎固定壓力和密度的亞音速入口決定了喉部的速度。我使用真實的氣體參數作爲參數進行計算，入口設置壓力爲1.001倍的標準大氣壓，密度由氣體狀態方程利用壓力和溫度計算而來，溫度設爲25°C(298.15K)，出口是標準大氣壓，這是計算收斂到全場亞音速的結果，我懶得做無量綱了這裏就不展示了。