羅德里格斯（Rodrigues）旋轉公式推導

定義

定義$\pmb{v}$是三維空間$\R^3$中的一個任意向量，$\pmb{k}$是一個單位向量，向量$\pmb{v}$繞向量$\pmb{k}$旋轉$\theta$角度，則表示旋轉後向量$\pmb{v}_{rot}$的羅德里格斯公式爲：
$v_{rot}=\pmb{v}\cos\theta+(\pmb{k}\times\pmb{v})\sin\theta+\pmb{k}(\pmb{k}\cdot\pmb{v})(1-\cos\theta)$

公式推導

定義$\pmb{v}$是三維空間$\R^3$中的一個任意向量，$\pmb{k}$是一個單位向量，向量$\pmb{v}$繞向量$\pmb{k}$旋轉$\theta$角度（右手定律，圖中逆時針方向）。

使用點乘和叉乘，$\pmb{v}$可被分解爲與$\pmb{k}$平行和垂直的分量：

$\pmb{v}=\pmb{v}_{\|}+\pmb{v}_\perp \tag{1}$

其中平行於$\pmb{k}$的分量爲：

$\pmb{v}_{\|}=(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k} \tag{2}$

向量$\pmb{v}_{\|}$稱爲向量$\pmb{v}$在向量$\pmb{k}$上的投影（vector projection），垂直於$\pmb{k}$的分量爲：

$\begin{aligned} \pmb{v}_{\perp}&=\pmb{v}-\pmb{v}_{\|} \\ &=\pmb{v}-(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k} \\ &=-\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v}) \end{aligned} \tag{3}$

向量$\pmb{v}_{\perp}$稱爲向量$\pmb{v}$在向量$\pmb{k}$上的vector rejection（沒有找到合適的翻譯）。

公式(3)最後一項的推導：向量$\pmb{k}\times\pmb{v}$可以看作是向量$\pmb{v}_{\perp}$繞向量$\pmb{k}$逆時針旋轉90°的副本，所以它們大小相等但方向垂直。同樣的，向量$\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v})$是$\pmb{v}_{\perp}$繞$\pmb{k}$逆時針旋轉180°的副本，所以$\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v})$和$\pmb{v}_{\perp}$的大小相等但方向相反（因此符號相反）。

擴展：
向量的三重叉積連接了平行分量和垂直分量，對於給定的3個向量$\pmb{a}$，$\pmb{b}$，$\pmb{c}$，有：
$\pmb{a}\times(\pmb{b}\times\pmb{c})=(\pmb{a}\cdot\pmb{c})\pmb{b}-(\pmb{a}\cdot\pmb{b})\pmb{c}$

由於平行於旋轉軸的分量在旋轉時不會改變其幅度和方向，因此有：

$\pmb{v}_{\|rot}=\pmb{v}_{\|} \tag{4}$

垂直分量在旋轉時會改變方向，但會保持大小不變，有：

$|\pmb{v}_{\perp rot}|=|\pmb{v}_{\perp}| \tag{5}$

$\pmb{v}_{\perp rot}=\cos \theta \pmb{v}_{\perp}+\sin \theta \pmb{k} \times \pmb{v}_{\perp} \tag{6}$

由於$\pmb{k}$和$\pmb{v}_{\|}$是平行的，所以它們的叉積爲0，即$\pmb{k}\times\pmb{v}=0$，所以我們有：

$\begin{aligned} \pmb{k}\times\pmb{v}_{\perp}&=\pmb{k}\times(\pmb{v}-\pmb{v}_{\|}) \\ &=\pmb{k}\times\pmb{v}-\pmb{k}\times\pmb{v}_{\|} \\ &=\pmb{k}\times\pmb{v} \end{aligned} \tag{7}$

將(6)式帶入(7)式，有：

$\pmb{v}_{\perp rot}=\cos\theta\pmb{v}_{\perp}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \tag{8}$

說明：
可以通過前面的圖片來理解公式(8)。向量$\pmb{v}_{\perp}$和$\pmb{k}\times\pmb{v}$具有相同的長度，且$\pmb{k}\times\pmb{v}$是$\pmb{v}_{\perp}$繞$\pmb{k}$旋轉90°得到的。利用三角函數（正弦、餘弦）可得到旋轉後向量的垂直分量。旋轉分量的形式與笛卡爾基的2D平面極座標$(r,\theta)$中的徑向向量類似：
$\pmb{r}=r\cos\theta\pmb{e}_{x}+r\sin\theta\pmb{e}_{y}$
其中，$\pmb{e}_{x}$，$\pmb{e}_{y}$爲它們指示方向上的單位向量。

現在，旋轉後的向量可完整表示爲：

$\pmb{v}_{rot}=\pmb{v}_{\| rot}+\pmb{v}_{\perp rot} \tag{9}$

將式(4)和(8)和(2)依次帶入(9)，有：

$\begin{aligned} \pmb{v}_{rot}&=\pmb{v}_{\|}+\cos\theta\pmb{v}_{\perp}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\pmb{v}_{\|}+\cos\theta(\pmb{v}-\pmb{v}_{\|})+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)\pmb{v}_{\|}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ \end{aligned} \tag{10}$

矩陣表示

將$\pmb{v}$和$\pmb{k}\times\pmb{v}$表示爲列矩陣，則叉積可以表示爲矩陣的乘積：

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} (\pmb{k}\times\pmb{v})_x \\ (\pmb{k}\times\pmb{v})_y \\ (\pmb{k}\times\pmb{v})_z \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} k_y v_z-k_z v_y \\ k_z v_x-k_x v_z \\ k_x v_y-k_y v_x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{11}$

令$\pmb{K}$表示單位向量$\pmb{k}$的“叉積矩陣”：

$\pmb{K}= \begin{bmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix} \tag{12}$

則對於任意向量$\pmb{v}$，矩陣方程(11)可以表示爲：

$\pmb{K}\pmb{v}=\pmb{k}\times\pmb{v} \tag{13}$

事實上，K是具有這個性質的唯一矩陣，它的特徵值爲0和$\pm i$。

在等式右側迭代叉乘等價於在等式左側迭代左乘叉積矩陣，有（迭代2次的情況）：

$\pmb{K}(\pmb{K}\pmb{v})=\pmb{K}^2\pmb{v}=\pmb{k}(\pmb{k}\times\pmb{v}) \tag{14}$

由於$\pmb{k}$是單位向量，所以$\pmb{k}$具有單位的2範數，因此旋轉公式(10)可以表示爲：

$\begin{aligned} \pmb{v}_{rot}&=\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{k}\times\pmb{v} \\ &=\pmb{v}-\pmb{v}+\cos\theta\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}-(1-\cos\theta)\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}-(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{k})\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}+(1-\cos\theta)((\pmb{k}\cdot\pmb{v})\pmb{k}-(\pmb{k}\cdot\pmb{k})\pmb{v})+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}+(1-\cos\theta)(\pmb{k}\times(\pmb{k}\times\pmb{v}))+\sin\theta\pmb{K}\pmb{v} \\ &=\pmb{v}+(\sin\theta)\pmb{K}\pmb{v}+(1-\cos\theta)\pmb{K}^2\pmb{v} \\ &=(\pmb{I}+(\sin\theta)\pmb{K}+(1-\cos\theta)\pmb{K}^2)\pmb{v} \\ &=\pmb{R}\pmb{v} \\ ,\|\pmb{K}\|_2&=1 \end{aligned} \tag{15}$

有：

$\pmb{R}=\pmb{I}+(\sin\theta)\pmb{K}+(1-\cos\theta)\pmb{K}^2 \tag{16}$

這是一個繞軸$\pmb{k}$逆時針旋轉$\theta$角度的旋轉矩陣，其中$\pmb{I}$爲一個$3\times3$的單位矩陣。

矩陣$\pmb{R}$是實數空間$\R^3$中旋轉羣$SO(3)$中的元素，$\pmb{K}$是生成該李羣的李代數$so(3)$中的元素（注意，$\pmb{K}$具有$so(3)$斜對稱的特徵）。