數據結構與算法——複雜度分析

1、大O複雜度表示法

1.1、從維度劃分

從維度劃分可分爲：時間複雜度、空間複雜度

1.1.1、時間複雜度

概念

代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢

多項式量級複雜度分析規則（非多項式量級不常見暫不考慮）

順序相加，嵌套相乘，取最高階

階數排序

冪階（$n^4>n^3>n^2$）>線性對數階（$nlogn$）>線性階（$n$）>對數階（$logn$）>常數階（1）

舉例

int a=0;
for(int i=0;i<n;i++){
	a=a+1;
	for(int j=0;j<n;j++){
		a=a+2;
	}
}
int b=1;
while(b <= n){
  b=b*10;
}

第一行：執行1次

第二行：循環執行n次

第三行：循環執行n次

第四行：循環執行$n^2$次

第五行：循環執行$n^2$次

第八行：循環執行$logn$次

總計：$2n^2+2n+logn+1$次，取最高階T(n)=O($n^2$)

1.1.2、空間複雜度

概念

算法的存儲空間隨數據規模增長的變化趨勢

舉例

int[] arr = new int[n];

空間複雜度T(n)=O($n$)

1.2、從分析角度劃分（以時間複雜度爲例）

從分析方面可分爲：最好情況時間複雜度、最壞情況時間複雜度、平均情況時間複雜度、均攤時間複雜度

1.2.1、最好情況時間複雜度

概念

在最理想的情況下，執行算法的時間複雜度

1.2.2、最壞情況時間複雜度

概念

在最糟糕的情況下，執行算法的時間複雜度

###1.2.3、平均情況時間複雜度

概念

在所有情況下，執行算法的時間總和的平均值

1.2.4、均攤時間複雜度

概念

​ 大部分情況下時間複雜度都很低，只有個別情況下時間複雜度比較高，而且這些操作之間存在前後連貫的時序關係，這個時候，我們就可以將這一組操作放在一塊兒分析，看是否能將較高時間複雜度那次操作的耗時，平攤到其他那些時間複雜度比較低的操作上

舉例

int a=0;
for(int i=0;i<n;i++){
	a=a+1;
  if(a == x){
    break;
  }
}

最好情況時間複雜度：循環第一次就能跳出循環，時間複雜度爲O(1)

最壞情況時間複雜度：循環到最後一次才跳出循環，或者直到循環結束，時間複雜度爲O(n)

平均情況時間複雜度：循環到中間某次就跳出循環，$(1+2+3+...+n+n)\over(n+1)$$=$$n\over2$$+1-$$1\over(n+1)$,T(n)=O(n)

均攤時間複雜度：本例用不到（不太常用就不計算了哈哈）