最小二乘問題，是最基本、最實用、最應用廣泛的的數學模型，在機器學習中更是得到了極大的應用（公式1），比如說我們的PCA，最經典的解釋就是：最小化樣本與其重構樣本之間的誤差和。採用的公式我不用寫出來大家都會明白，二者先取個差值，在來個平方，最後搞一個和號上去，這就是最小二乘問題的思想。該數學模型的目的十分直觀，就是想要計算出一組參數，這組參數可以讓計算出來的數據與觀測數據最爲接近。 進一步，最小二乘又可以分爲線性和非線性兩種，分別對應fi(x)的線性形式與非線性形式，線性最小二乘很好求解，可以將公式（1）變換爲矩陣方程（公式2），最後直接求解矩陣方程即可，不需要迭代，這種解被稱爲“解析解”。非線性最小二乘問題則不然，它要複雜得多，沒有辦法變換爲矩陣方程形式，以至於它必須將問題化簡爲每一步均爲可以直接求解的子問題，整個求解過程是迭代的。
線性最小二乘問題與非線性最小二乘的關係，就是非線性最小二乘問題的求解過程，求解過程一講完，關係自然也就明瞭！本來想寫一篇很詳細的博客，介紹非線性最小二乘問題的解法，一直打算把求解非線性最小二乘問題的每一步數學公式都進行解釋，但是我發現，在CSDN中，大家往往對數學公式不大感冒，喜歡的往往就是通俗簡單的文字說明，加上實用的代碼。所以，我適應環境，下面就說說求解過程。
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1. 對原問題中的每一個函數fi(x)在x0處進行一階泰勒展開，因爲一階泰勒展開屬於線性函數（公式3），於是通過這種手段，就可以將非線性最小二乘問題簡化爲線性最小二乘問題來求解。
2. 對得到的線性最小二乘問題，進行直接求解。這裏面涉及到兩個矩陣，一個是雅克比矩陣（公式4），一個是赫森矩陣（公式5）。
3. 得到子問題的解析解xk+1之後（公式2），xk+1與xk之間便自然地建立了等式關係（公式6）。
4. 更新參數xk（k=k+1， k=1....n），回到步驟1，直到滿足收斂條件，得到最優解x*
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說完了，非線性最小二乘問題的解決思路就是這樣的，整個過程就是複雜問題簡單化，線性最小二乘簡單吧，那就想辦法利用簡單的來解決複雜的。一階泰勒展開剛好能起到“橋樑”一樣的角色，如此看來，大牛們還是很聰明的。
下面說說幾個注意事項。
第一：步驟1中，一定要一階泰勒展開，不能採用二階以上，因爲只有一階泰勒展開纔是線性函數，才能轉換爲線性最小二乘問題來直接求解。
第二：步驟2中，雅克比矩陣和赫森矩陣都是屬於子問題的，不是原問題的。
第三：步驟3中，是爲了得到新求解的參數xk+1與之前參數xk之間的關係，形成一種“鏈式反應”，也就是迭代了。
第四：步驟4中，收斂條件一般有1.梯度近乎爲0。2.變量變化很小。3.目標函數值變化很小等。
第五：許多優化算法，都可以用於解決非線性最小二乘問題。例如我之前講過的LM算法與信賴域算法（參考2與參考3），對應的matlab代碼已給出。
第六：函數fi(x)往往都是如下形式（公式7），千萬別以爲fi(x)就是hi(x)，我之前犯過類似的錯誤，調代碼調的很慘。
希望我的理解對正在使用最小二乘模型的童鞋能夠所有幫助。
參考1：最優化理論與算法
參考2：利用Levenberg_Marquardt算法求解無約束的非線性最小二乘問題~
(轉載請註明：http://blog.csdn.net/wsj998689aa/article/details/41558945, 作者：迷霧forest)
