Matlab-函數擬合

0. 評價指標

一、SSE(和方差)
該統計參數計算的是擬合數據和原始數據對應點的誤差的平方和，計算公式如下

SSE越接近於0，說明模型選擇和擬合更好，數據預測也越成功。接下來的MSE和RMSE因爲和SSE是同出一宗，所以效果一樣

二、MSE(均方差)
該統計參數是預測數據和原始數據對應點誤差的平方和的均值，也就是SSE/n，和SSE沒有太大的區別，計算公式如下

三、RMSE(均方根)
該統計參數，也叫回歸系統的擬合標準差，是MSE的平方根，就算公式如下

在這之前，我們所有的誤差參數都是基於預測值(y_hat)和原始值(y)之間的誤差(即點對點)。從下面開始是所有的誤差都是相對原始數據平均值(y_ba)而展開的(即點對全)!!!

四、R-square(確定係數)
在講確定係數之前，我們需要介紹另外兩個參數SSR和SST，因爲確定係數就是由它們兩個決定的
(1)SSR：Sum
of squares of the regression，即預測數據與原始數據均值之差的平方和，公式如下

(2)SST：Total sum of squares，即原始數據和均值之差的平方和，公式如下

細心的網友會發現，SST=SSE+SSR，呵呵只是一個有趣的問題。而我們的“確定係數”是定義爲SSR和SST的比值，故

其實“確定係數”是通過數據的變化來表徵一個擬合的好壞。由上面的表達式可以知道“確定係數”的正常取值範圍爲[0
1]，越接近1，表明方程的變量對y的解釋能力越強，這個模型對數據擬合的也較好。

1. 工具箱擬合——cftool

在命令行輸入數據：
x
y

啓動曲線擬合工具箱
命令：cftool

進入曲線擬合工具箱界面“Curve Fitting tool”
1）利用X data和Y data的下拉菜單讀入數據x,y
2）選擇曲線擬合類型
3）自動擬合 即可在結果窗口和曲線窗口顯示出擬合結果

工具箱提供的擬合類型如下，進行簡要說明，可以嘗試各種不同類型擬合效果

英文名稱	逼近類型	種類數量	基礎類型
Custom Equations	用戶自定義的函數類型
Exponential	指數逼近	2
Fourier	傅立葉逼近	7
Gaussian	高斯逼近	8
Interpolant	插值逼近	4	linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial	多形式逼近	9	linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power	冪逼近	2	ax^b 、ax^b + c
Rational	有理數逼近		，分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子還包括constant型
Smoothing Spline	平滑逼近
Sum of Sin Functions	正弦曲線逼近	8	a1sin(b1x + c1)
Weibull		1	abx(b-1)*exp(-a*xb)

注意 ： Interpolant是插值逼近僅僅是對函數進行插值畫圖顯示，並不能得到擬合的函數。

Exponential：指數逼近，有2種類型， aexp(bx) 、 aexp(bx) + cexp(dx)
Fourier：傅立葉逼近，有7種類型，基礎型是 a0 + a1cos(xw) + b1sin(xw)
Gaussian：高斯逼近，有8種類型，基礎型是 a1exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant：插值逼近，有4種類型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial：多形式逼近，有9種類型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power：冪逼近，有2種類型，ax^b 、ax^b + c
Rational：有理數逼近，分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子還包括constant型
Smoothing Spline：平滑逼近（翻譯的不大恰當，不好意思）
Sum of Sin Functions：正弦曲線逼近，有8種類型，基礎型是 a1sin(b1x + c1)
Weibull：只有一種，ab*x^{(b-1)*exp(-a*x}b)
選擇View > Residuals Plot，可以查看殘差圖。

在Table of Fits中右擊選擇Duplicate “XX” (或者在Fit主菜單裏面複製) 複製某個擬合，重新生成別的擬合，進行對比。

觀察Results以及residuals plot 殘差圖。
The residuals from a good fit should look random with no apparent pattern. A pattern, such as a tendency for consecutive residuals to have the same sign, can be an indication that a better model exists.

2. 萬能擬合 ——nlinfit

matlab 萬能實用的非線性曲線擬合方法 - It’s All Uphill From Here
matlab函數擬合 - 學習時間軸 - 博客園

clear
clc   %清除工作空間
syms x;

%公共參數設置
xx=[3,5]';   %這裏設置已知自變量向量(列向量)
yy = [0.8,1]';  %對應因變量(列向量)
startPos = [1,1];   %設置係數的起始搜索點
%使用fit函數擬合的
%設置參數
f = '(1+alpha*(x-belta)^(-2))^(-1)';  %設置需要擬合的函數形式
funType=fittype(f,'independent','x',...
'coefficients',{'alpha','belta'});  %在independent後面設置自變量,在coefficients後面設置待定係數（多個值用{}括起來）
%使用nlinfit函數進行擬合的
%設置參數
f1 = @(coef,x)(1+coef(1)*(x-coef(2)).^(-2)).^(-1);  %設置需要擬合的函數(內聯函數形式)

%後面的代碼不用改
%fit擬合相關代碼
opt=fitoptions(funType);
set(opt,'StartPoint',startPos);
cfun=fit(xx,yy,funType,opt)   %命令行顯示結果
plot(cfun,'r',xx,yy,'*')

%nlinfit擬合相關代碼
coef=nlinfit(xx,yy,f1,startPos);
disp('nlinfit擬合後的係數矩陣爲：');
disp(coef);

hold on
xmax = max(xx);
xmin = min(xx);
xnum = 2*length(xx)+50;
x = linspace(xmin,xmax,xnum);
y = f1(coef,x);
plot(x,y,'g');

legend('原始數據','fit擬合','nlinfit擬合')

3. 多項式擬合 ——polyfit

p=polyfit(x,y,2);

如何使用MATLAB進行曲線擬合-百度經驗

Library Model Name	Description
poly1	線性多項式曲線
poly11	線性多項式表面
poly2	二次多項式曲線
linearinterp	分段線性插值
cubicinterp	分段三次插值
smoothingspline	平滑樣條(曲線)
lowess	局部線性迴歸(曲面)

參考

matlab 萬能實用的非線性曲線擬合方法 - It’s All Uphill From Here