伍德伯裏矩陣恆等式（Woodbury matrix identity）

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在數學（特別是線性代數）中，Woodbury矩陣恆等式是以Max A.Woodbury命名的，它可以通過對原矩陣的逆進行秩k校正來計算某個矩陣的秩k校正的逆。這個公式的另一個名字是矩陣逆引理，謝爾曼-莫里森-伍德伯裏（Sherman–Morrison–Woodbury formula）公式或只是伍德伯裏公式。然而，在伍德伯裏發現之前，這一等式出現在其他文獻中。

1. 伍德伯裏矩陣恆等式

$\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}$

其中 $A$ 、 $U$ 、 $C$ 和 $V$ 都表示適形尺寸的矩陣。具體來說， $A$ 的大小爲 $n×n$ ， $U$ 爲 $n×k$ ， $C$ 爲 $k×k$ ， $V$ 爲 $k×n$ 。

2. 擴展

不失一般性，可用單位矩陣替換矩陣A和C：
$\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V$

這裏 $\displaystyle U=A^{-1}X$ , $\displaystyle V=CY$ 。

這個等式本身可以看作是兩個簡單等式的組合，即等式
$\displaystyle (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P=I-P(I+P)^{-1}$

和所謂的 push-through 等式
$\displaystyle (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}$ 的結合。

3. 特殊情況

當 $\displaystyle V,U$ 是向量時，伍德伯裏恆等式退化爲謝爾曼-莫里森公式，在標量情況下，它（簡化版）只是：
$\displaystyle {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}}$

如果 $p=q$ 和 $U=V=I_p$ 是單位矩陣，那麼
$\left({A}+{B}\right)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$

$={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}.$
繼續合併上述方程最右邊的項，就可以得到一下恆等式：
$\displaystyle \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}$

此等式的另一個有用的形式是：
$\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1}$

它有一個遞歸結構：
$\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1}$

這種形式可用於微擾展開式，其中 $B$ 是 $A$ 的微擾。

4. 推廣

二項式逆定理（Binomial Inverse Theorem）
如果 $A$ ， $U$ ， $B$ ， $V$ 分別是 $p×p$ ， $p×q$ ， $q×q$ ， $q×p$ 的矩陣，那麼:
$\displaystyle \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1}$

前提是 $A$ 和 $B+BVA-1UB$ 是非奇異的。後者的非奇異性要求 $B^{-1}$ 存在，因爲它等於 $B（I+VA＝1ub）$ ，並且後者的秩不能超過 $B$ 的秩。由於 $B$ 是可逆的，所以在右手邊的附加量逆的兩邊的兩個 $B$ 項可以被 $(B^{-1})^{-1}$ 替換，從而得到原始的Woodbury恆等式:
$\displaystyle (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}$

在某些情況下， $A$ 是有可能是奇異的。

5. 延伸

公式可以通過檢查 $A+UCV$ 乘以伍德伯裏恆等式右側的所謂逆得到恆等式矩陣來證明：
$\left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right]$
$={}\left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}={}$
$\left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}=$
$+UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}=$
$+UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\left({A}+{B}\right)^{-1}$ $=A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$ $
$={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}.$ .