宜言饮酒，与子偕老。琴瑟在御，莫不静好。
更多精彩内容请关注微信公众号 “优化与算法 ”
在数学（特别是线性代数）中，Woodbury矩阵恒等式是以Max A.Woodbury命名的，它 可以通过对原矩阵的逆进行秩k校正来计算某个矩阵的秩k校正的逆。这个公式的另一个名字是矩阵逆引理，谢尔曼-莫里森-伍德伯里（Sherman–Morrison–Woodbury formula）公式或只是伍德伯里公式。然而，在伍德伯里发现之前，这一等式出现在其他文献中。
( A + U C V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 \displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} ( A + U C V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1
其中A A A U U U C C C V V V A A A n × n n×n n × n U U U n × k n×k n × k C C C k × k k×k k × k V V V k × n k×n k × n
不失一般性，可用单位矩阵替换矩阵A和C：( I + U V ) − 1 = I − U ( I + V U ) − 1 V \displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V ( I + U V ) − 1 = I − U ( I + V U ) − 1 V
这里U = A − 1 X \displaystyle U=A^{-1}X U = A − 1 X V = C Y \displaystyle V=CY V = C Y
这个等式本身可以看作是两个简单等式的组合，即等式( I + P ) − 1 = I − ( I + P ) − 1 P = I − P ( I + P ) − 1 \displaystyle (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P=I-P(I+P)^{-1} ( I + P ) − 1 = I − ( I + P ) − 1 P = I − P ( I + P ) − 1
和所谓的 push-through 等式( I + U V ) − 1 U = U ( I + V U ) − 1 \displaystyle (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1} ( I + U V ) − 1 U = U ( I + V U ) − 1
当 V , U \displaystyle V,U V , U 1 1 + u v = 1 − u v 1 + u v \displaystyle {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}} 1 + u v 1 = 1 − 1 + u v u v
如果 p = q p=q p = q U = V = I p U=V=I_p U = V = I p ( A + B ) − 1 = A − 1 − A − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 \left({A}+{B}\right)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1} ( A + B ) − 1 = A − 1 − A − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1
= A − 1 − A − 1 ( I + B A − 1 ) − 1 B A − 1 . ={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}. = A − 1 − A − 1 ( I + B A − 1 ) − 1 B A − 1 . ( A + B ) − 1 = A − 1 − ( A + A B − 1 A ) − 1 \displaystyle \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1} ( A + B ) − 1 = A − 1 − ( A + A B − 1 A ) − 1
此等式的另一个有用的形式是：( A − B ) − 1 = A − 1 + A − 1 B ( A − B ) − 1 \displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1} ( A − B ) − 1 = A − 1 + A − 1 B ( A − B ) − 1
它有一个递归结构：( A − B ) − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( A − 1 B ) k A − 1 \displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1} ( A − B ) − 1 = k = 0 ∑ ∞ ( A − 1 B ) k A − 1
这种形式可用于微扰展开式，其中 B B B A A A
二项式逆定理（Binomial Inverse Theorem）A A A U U U B B B V V V p × p p×p p × p p × q p×q p × q q × q q×q q × q q × p q×p q × p ( A + U B V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U B ( B + B V A − 1 U B ) − 1 B V A − 1 \displaystyle \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1} ( A + U B V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U B ( B + B V A − 1 U B ) − 1 B V A − 1
前提是 A A A B + B V A − 1 U B B+BVA-1UB B + B V A − 1 U B B − 1 B^{-1} B − 1 B （ I + V A ＝ 1 u b ） B（I+VA＝1ub） B （ I + V A ＝ 1 u b ） B B B B B B B B B ( B − 1 ) − 1 (B^{-1})^{-1} ( B − 1 ) − 1 ( A + U B V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( I + B V A − 1 U ) − 1 B V A − 1 \displaystyle (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1} ( A + U B V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( I + B V A − 1 U ) − 1 B V A − 1
在某些情况下，A A A
公式可以通过检查 A + U C V A+UCV A + U C V ( A + U C V ) [ A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 ] \left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right] ( A + U C V ) [ A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 ] = { I − U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 } + { U C V A − 1 − U C V A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 } = ={}\left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}={} = { I − U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 } + { U C V A − 1 − U C V A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 } = { I + U C V A − 1 } − { U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 + U C V A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 } = \left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}= { I + U C V A − 1 } − { U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 + U C V A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 } = + U C V A − 1 − ( U + U C V A − 1 U ) ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 = +UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}= + U C V A − 1 − ( U + U C V A − 1 U ) ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 = + U C V A − 1 − U C ( C − 1 + V A − 1 U ) ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 + U C V A − 1 − U C V A − 1 ( A + B ) − 1 +UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\left({A}+{B}\right)^{-1} + U C V A − 1 − U C ( C − 1 + V A − 1 U ) ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 + U C V A − 1 − U C V A − 1 ( A + B ) − 1 = A − 1 − A − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 =A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1} = A − 1 − A − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 = A − 1 − A − 1 ( I + B A − 1 ) − 1 B A − 1 . ={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}. = A − 1 − A − 1 ( I + B A − 1 ) − 1 B A − 1 .
https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity
更多精彩内容请关注微信公众号 “优化与算法 ”
