一、前言
在各種內部排序算法中，有證明已經顯示：只使用比較的一般排序算法在最壞情況下的時間複雜度爲O(NlogN)，但是在已知某些額外信息或特殊情況下，可以達到線性時間的排序時間複雜度，就是桶排序和基數排序。
二、桶排序
任何算法首先始於思想（邏輯），只有思想（邏輯）是對的，才需要考慮優化算法的時間消耗和內存消耗。所謂“桶排序”，即把待排序數列裝進一個形如桶的數據結構中，這裏的桶中只保存桶中有多少個數據，並不保存實際的數值（其實是保存了的，只是比較巧妙）。上面已經說過，桶排序需要知道一些額外的關於待排序數列的信息，這個信息就是待排序數組的最大值，因爲這決定了桶結構的大小。
桶排序思想：
（1）構建桶。待排序數列最大值爲M，以數組Bucket[M]作爲桶結構，初始化桶結構所有元素爲0，即初始時每個桶中保存的數據爲0個；
（2）掃描待排序數組。依次掃描待排序數組a[N]，依次Hash（散列）待排序數組中每個元素到桶結構中，這裏的Hash函數是Hash(x) = a[i]，一旦某個元素Hash到某一個桶中，則該桶保存的數據個數+1；（仔細體會這個過程，這裏Hash的作用時把a[i]與桶結構數組的下標關聯）
（3）掃描桶結構數組。依次掃描桶結構，如果桶結構中某一元素不等於0，則表示該桶中至少保存有一個待排序數組中的數值，那這個待排序數組中的數值是多少呢？根據第（2）步中的Hash過程，這個數值就是桶結構對應的下標值，即只要桶結構該元素不等於0，就依次打印桶結構對應位置的下標，所得結果就是排序後結果。
如待排序數組時：4，1，2，56，1，20，3，48，50，48 這裏共10個數，最大值M=56，根據桶排序思想，桶排序流程如下：
（1）構建桶
（2）掃描待排序數組，進行Hash操作
（3）掃描桶結構數組，依次打印下標結果爲：1，1，2，3，4，20，48，48，50，56。 排序完成，具體代碼如下：
void BucketSort(int *a, const int N, const int M)
{
//構建桶
int *bucket = new int[M];
for(int i=0;i<M;i++)
bucket[i] = 0;
//依次掃描待排序數組，Hash操作
for(int i=0;i<N;i++)
bucket[ a[i] ] += 1;
//依次掃描桶結構，打印下標
for(int i=0;i<M;i++)
{
while(bucket[i] != 0)
{
cout << i << " ";
--bucket[i];
}
}
}三、基數排序
瞭解了桶排序，有沒有什麼想法？首先它的時間複雜度是多少？O(M+N)，主要體現在掃描桶結構的過程中，那麼它的空間複雜度又是多少呢？是O（M）。回過頭來想一想，你排序10個元素，用了56個內存空間，那要是還是剛剛那個數列，只是最大值變了，變爲999，那麼你的空間複雜度變爲1000，也就是說對10個數進行排序，用了1000個額外空間，這未免也太奢侈了吧，爲了解決這個問題，就有了基數排序（其實基數排序的原理在很久以前就有了）。
怎麼解決呢？那就是用多趟桶排序，每趟只排序所有數列中數值中的某一位，如個位、十位、百位等，同理，基數排序也需要知道待排序數列的額外信息，但不是最大值本身，只是最大值的位數P，P就是桶排序的趟數。
如何進行多趟排序呢？如果從最低位（個位）開始，沒進行一趟桶排序，完成之後需要先收集這一趟的排序結果，作爲下一趟排序的輸入，所以整個基數排序是一個分配和收集循環的過程。這並沒有比桶排序多出多少工作量，只有兩個方面：（1）基數排序需要多趟桶排序；（2）每一趟桶排序之後需要收集當前的排序結果，作爲下一趟排序的輸入。對於第一點，可以用用for循環跟蹤P實現多趟排序控制，對於第二點，難點在於怎麼收集當前排序結果？用什麼結構來收集？答案是用二維數組收集，爲什麼是二維數組，看看下面的例子：
如果待排序數組爲：64, 8, 216, 512, 27, 729, 0, 1, 342, 125，最大數有3位，則需要3趟桶排序，則第一趟（按個位數值排序）排序結果爲：
收集第一趟排序結果，收集原則爲從下到上，依次收集每個桶中的元素；
第二趟排序（按十位數值排序）結果爲：
根據收集原則，第一次桶排序結果爲：0,1,8,512,216,125,27,729,343,64，以該數列爲基礎，進行第三趟桶排序（按百位數值排序），結果如下：
再收集桶排序結果爲：0,1,8,27,64,125,216,343,512,729.由於這是最後一趟桶排序，則所得結果即爲最後排序結果。
基數排序實現如下：
//計算待排序數列最大數的位數
int MaxLength(int *a, const int N)
{
int d = 1;
int p = 10;
for(int i=0; i<N; i++)
{
while(a[i] >= p)
{
p = p*10;
++d;
}
}
return d;
}
void Sort(int *a,const int N)
{
int d = MaxLength(a,N); //待排序數列最大數的位數
int k = 1;
vector< vector<int> > A(10); //桶結構，用來存儲每次桶排序過程的值
vector<int> temp; //中間內存，用來收集每次桶排序結果
for(int p=0;p<d;p++)
{
for(int i=0;i<10;i++)
{
A.at(i).clear(); //每次桶排序開始清零桶結構
}
for(int i=0;i<N;i++)
{
int s = a[i] / k;
int base = s % 10;
A.at(base).push_back(a[i]); //填充桶結構
}
for(int j=0; j<10; j++)
{
vector<int>::iterator itr;
for(itr=A[j].begin(); itr!=A[j].end();itr++)
{
temp.push_back(*itr); //收集桶排序結果
}
}
for(int i=0;i<N;i++)
{
a[i] = temp[i]; //將最新的桶排序結果賦值給原來待排序數組，進行下一次桶排序
}
temp.clear();
k = k * 10;
}
}
