Problem

我們有一顆從1到n編號的n（<=300000）個結點的樹，此外，您將從樹中獲得M（<=300000）個節點對，形式爲(a1,b1),(a2,b2),…（am,bm).
我們需要給每一條邊定向，使得每一對節點對存在一條從ai到bi或從bi到ai的路徑。
現在要求方案數，對10^9+7取mod即可。

Solution

剛看這道題，感覺很神仙。
仔細分析，對於一個點對(a,b)，顯然a到b的路徑上的邊只要確定一條的方向，其他的均可確定。
那麼可以將這些邊丟到同一個並查集中。（並查集中的每一個點代表原圖中的一條邊）那麼最終的答案即爲 $2^{s}$ （s爲並查集數）。
如何實現呢？我先講一下我的SB方法。

我的SB方法

具體地說，對於點對(a,b)，找出其lca，設爲點c。我們使用倍增找出c到a路徑上第二個點x和c到b路徑上第二個點y（x、y是c的兒子），那麼我們讓並查集中的 $c \to x$ 連向 $c \to y$ 。
在上圖中，我們先讓邊3連向邊4。然後，我們再dfs一波，讓1連向2,2連向3,6連向5,5連向4。
具體地說，我們可以採用樹上差分。在a、b處各打一個+1，在x、y處各打一個-1。每個點的值大於0則表明它連向它父親的邊應連向它父親連向它祖父的邊。舉例來說，點a的值就大於0，那麼邊1就應連向邊2。

但是這麼做還有一個問題：那就是無法處理答案=0的情況。
答案之所以會=0，無非是因爲有些點對矛盾了。
我們可以記錄一下並查集中的每個點是否和它的父親同向。（並查集中的每一個點代表原圖中的一條邊）

這麼做的話，路徑壓縮就要改一下。
我們可以求個後綴異或和。
舉例來說，對於 $1 \to 2 \to 3 \to 4$ （ $x \to y$ 表示y爲x的父親），我們要將1路徑壓縮，即將原樹變成 $1 \to 4, 2 \to 4, 3 \to 4$ 的形態。若1與2反向，2與3同向，3與4反向，我們倒着來做，求一波後綴和，於是可知3與4反向，2與4反向，1與4同向。

還有連邊的時候也要有所修改。
對於 $x \to y$ ，我們都是讓x和y路徑壓縮一波，然後設它們的父親分別爲fx、fy，令fx連向fy。
考慮一下，若x與fx反向，y與fy同向，我們要從x連與y同向的邊，那麼就應從fx連與fy反向的邊。
實際上，fx連向fy的邊即爲x與fx的邊、y與fy的邊、x與y的邊的異或和。

那麼何時會出現矛盾呢？
當x和y位於同一個並查集中時，路徑壓縮後，fx=fy。設若此時我們要從fx連與fy反向的邊，即從fx連與fx反向的邊；但fx肯定與fx同向，這就產生矛盾。
所以，一出現這種情況，直接輸出0即可。

時間複雜度： $O (m l o g_{2} n + n α (n))$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,x) for(edge *i=x; i; i=i->ne)
#define P {putchar(48); exit(0);}
#define fs(x) for(it=x.begin();it!=x.end();it++)
using namespace std;

const int N=3e5+1,M=1e9+7;
int i,n,m,x,y,sum[N],top,sta[N],f[N],dep[N],anc[N][19],a,b,q,fa[N],d[N],ans;
bool vis[N],re[N];
struct edge
{
    int v;
    edge *ne;
    edge(int v,edge *ne):v(v),ne(ne){}
}*fin[N],*cur[N];

void read(int&x)
{
    char ch=' '; x=0;
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48), ch=getchar();
}

inline void link(int x,int y)
{
    fin[x]=new edge(y,fin[x]);
}

void dfs(int x)
{
    sta[top=1]=x;
    while(top)
    {
        loop:x=sta[top];
        if(!vis[x])
        {
            vis[x]=1; cur[x]=fin[x]; anc[x][0]=f[x];
            fo(i,1,18) anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
        }

        rep(i,cur[x])
        {
            y=i->v;
            if(y!=f[x])
            {
                f[y]=x; dep[y]=dep[x]+1;
                sta[++top]=y; cur[x]=i->ne; goto loop;
            }
        }

        top--; 
    }
}

int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int i,fx,fy;
    fd(i,18,0) if((fx=anc[x][i])&&dep[fx]>=dep[y]) x=fx;
    if(x!=y)
        fd(i,18,0)
            if((fx=anc[x][i])!=(fy=anc[y][i]))
                x=fx, y=fy;
    return x==y ? x : f[x];
}
int mindep(int x,int y)
{
    int i,f;
    fd(i,18,0) if((f=anc[x][i])&&dep[f]>dep[y]) x=f;
    return x;
}

int gef(int x)
{
    d[0]=0;
    for(; x!=fa[x]; x=fa[x]) d[++d[0]]=x;
    bool s=0;
    while(d[0]) 
    {
        s^=re[d[d[0]]];
        fa[d[d[0]]]=x;
        re[d[d[0]--]]=s;
    }
    return x;
}
void Union(int x,int y,bool k)
{
    int fx=gef(x), fy=gef(y);
    k=k^re[x]^re[y];
    if(fx==fy&&k) P; 
    fa[fx]=fy; re[fx]=k;
}

void dfs1(int x)
{
    sta[top=1]=x;
    while(top)
    {
        loop:x=sta[top];
        if(vis[x]) vis[x]=0, cur[x]=fin[x]; 

        rep(i,cur[x])
        {
            y=i->v;
            if(y!=f[x])
            {
                sta[++top]=y; 
                cur[x]=i->ne; goto loop;
            }
        }

        sum[f[x]]+=sum[x];
        if(sum[x]>0) Union(x,f[x],0);
        top--; 
    }
}

int main()
{
    freopen("usmjeri.in","r",stdin);
    freopen("usmjeri.out","w",stdout);
    read(n); read(m);
    fo(i,1,n-1)
    {
        read(x); read(y);
        link(x,y); link(y,x); 
    }

    dfs(1); 

    fo(i,1,n) fa[i]=i;
    fo(i,1,m)
    {
        read(a); read(b); 
        if(a==b) continue;
        q=lca(a,b); 
        if(q==a||q==b)
        {
            if(q==a)
                    x=mindep(b,a), sum[b]++;
            else    x=mindep(a,b), sum[a]++;
            sum[x]--; continue;
        }
        sum[a]++; sum[b]++;
        x=mindep(a,q); sum[x]--;
        y=mindep(b,q); sum[y]--;
        Union(x,y,1);
    }

    dfs1(1);

    ans=1;
    fo(i,2,n)
    {
        x=gef(i);
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=1; (ans<<=1)%=M;
    }
    printf("%d",ans);
}

正確的正解

實際上，對於每一個點對(a,b)，我們在找出c=lca(a,b)後，可以直接暴力連上a到c的邊以及b到c的邊。
比如對於上圖，我們暴力將邊1連上邊2，邊2連上邊3，邊6連上邊5，邊5連上邊4。
不過，我們連邊是讓深度較大的邊連向深度較小的邊。
這樣一來，處理完點對(a,b)後，如果有另一對(a’,b’)，其lca爲c’，且路徑(a’,c’)完全覆蓋了(a,c)，則我們在連這段路徑的邊時會直接跳過整段的路徑(a,b)。（我們要路徑壓縮）

但是，如何將路徑(a,c)和路徑(b,c)弄到同一個並查集呢？
其實我們不必找到x和y。
設邊a表示點a連向其父親的邊，譬如上圖中的邊a即爲邊1。我們可以直接將邊a和邊b連起來。

但是這樣會出現一個問題。
邊a和邊b間連的邊是表示它們反向（邊a和邊b反向）。這樣，我們在暴力連其他的(a’,c’)路徑時，可能(a’,c’)上的路徑中有邊反向。
如果我們從某條邊x，跳到了它所在的並查集的根，壓縮路徑，變成fa[x]後，直接判斷邊a是否和邊fa[x]同向，那也依然有問題。因爲可能x到fa[x]的路徑上就是有兩個點（並查集中的點代表原圖中的一條邊）反向，我們難以判斷。

囿於上述問題，我們可以先處理所有(a,c),(b,c)的路徑，即先連同向的邊。連完同向的邊後，再掃一遍詢問數組，爲所有邊a和邊b再連上反向的邊。

時間複雜度： $O (m l o g_{2} n + n α (n))$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define rep(i,x) for(edge *i=x; i; i=i->ne)
#define P {putchar(48); exit(0);}
#define fs(x) for(it=x.begin();it!=x.end();it++)
using namespace std;

const int N=3e5+1,M=1e9+7;
int i,n,m,x,y,sum[N],top,sta[N],f[N],dep[N],anc[N][19],a,b,q,fa[N],d[N],ans;
bool vis[N],re[N];
struct edge
{
    int v;
    edge *ne;
    edge(int v,edge *ne):v(v),ne(ne){}
}*fin[N],*cur[N];
struct tuple
{
    int a,b,c;  
}t[N];

void read(int&x)
{
    char ch=' '; x=0;
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48), ch=getchar();
}

inline void link(int x,int y)
{
    fin[x]=new edge(y,fin[x]);
}

void dfs(int x)
{
    sta[top=1]=x;
    while(top)
    {
        loop:x=sta[top];
        if(!vis[x])
        {
            vis[x]=1; cur[x]=fin[x]; anc[x][0]=f[x];
            fo(i,1,18) anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
        }

        rep(i,cur[x])
        {
            y=i->v;
            if(y!=f[x])
            {
                f[y]=x; dep[y]=dep[x]+1;
                sta[++top]=y; cur[x]=i->ne; goto loop;
            }
        }

        top--; 
    }
}

int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int i,fx,fy;
    fd(i,18,0) if((fx=anc[x][i])&&dep[fx]>=dep[y]) x=fx;
    if(x!=y)
        fd(i,18,0)
            if((fx=anc[x][i])!=(fy=anc[y][i]))
                x=fx, y=fy;
    return x==y ? x : f[x];
}

int gef(int x)
{
    d[0]=0;
    for(; x!=fa[x]; x=fa[x]) d[++d[0]]=x;
    bool s=0;
    while(d[0]) 
    {
        s^=re[d[d[0]]];
        fa[d[d[0]]]=x;
        re[d[d[0]--]]=s;
    }
    return x;
}
void go(int x)
{
    for(x=gef(x); dep[x]>dep[q]+1; x=gef(x)) fa[x]=gef(f[x]);
}

int main()
{
    freopen("usmjeri.in","r",stdin);
    freopen("usmjeri.out","w",stdout);
    read(n); read(m);
    fo(i,1,n-1)
    {
        read(x); read(y);
        link(x,y); link(y,x); 
    }

    dfs(1); 

    fo(i,1,n) fa[i]=i;
    fo(i,1,m)
    {
        read(a); read(b); 
        q=lca(a,b);
        go(a); go(b);
        t[i]={a,b,q};
    }

    fo(i,1,m)
    {
        a=t[i].a; b=t[i].b; q=t[i].c;
        if(a==q|b==q) continue;
        int fx=gef(a), fy=gef(b);
        if(fx==fy) 
        {
            if(re[a]==re[b]) P;
            continue;
        }
        fa[fx]=fy; re[fx]=re[a]==re[b];
    }

    ans=1;
    fo(i,2,n)
    {
        x=gef(i);
        if(!vis[x]) continue;
        vis[x]=0; (ans<<=1)%=M;
    }
    printf("%d",ans);
}

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