啓發式合併（堆、set、splay、treap）/線段樹合併學習小記

啓發式合併

• 剛聽到這個東西的時候，我是相當蒙圈的。特別是“啓發式”這三個字莫名的裝逼，因此之前一直沒有學。
• 實際上，這個東西就是一個SB貪心。
• 以堆爲例，若我們要合併兩個堆a、b，我們有一種極其簡單的做法：那就是比較一下它們的大小，將小的堆的每個元素依次插入到大的堆中。不妨設|a|≤|b|$|a|\le |b|$ ，則時間複雜度即爲：O(|a|∗log2(|a|+|b|))$O(|a|\ast lo{g}_2(|a|+|b|))$ 。
• 這個東西看似很慢，但當點數較小的時候，我們可以證明複雜度是可被接受的。

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• 比如我們要合併n個堆，這n個堆共有m個點。設這n個堆={s1,s2,s3,...,sn}$=\{s_1,s_2,s_3,...,s_n\}$ 。
• 首先，我們合併s1$s_1$ 和s2$s_2$ ，變成一個新的堆t1$t_1$ 。
• 然後，我們合併t1$t_1$ 和s3$s_3$ ，變成一個新的堆t2$t_2$ 。
• ……
• 以此類推，我們最終可以合併出一個堆tn−1$t_{n-1}$ 。

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• 合併堆a、b時，記1次操作爲將a中的一個元素插入b（或將b中的一個元素插入a）。
• 可以發現，第1次合併操作數≤|s2|$\le |s_2|$ ，第2次合併操作數≤|s3|$\le |s_3|$ ……第i次合併操作數≤|si+1|$\le |s_{i+1}|$ 。
• 因此，總操作數≤∑ni=2|si|≤m$\le \sum _{i=2}^n|s_i|\le m$ 。而每次操作又是O(log2m)$O(lo{g}_{2}m)$ 的複雜度。因此：
• 時間複雜度：O(n+mlog2m)$O(n+mlo{g}_{2}m)$ 。

推廣

• 啓發式合併也可以用到set、splay、treap等平衡樹上去。
• 若我們要合併兩棵平衡樹a、b，也是先比較大小，將小的平衡樹的每個元素依次插入大的平衡樹。囿於插入的時間也是O(log2n)$O(lo{g}_{2}n)$ ，因此總複雜度還是O(|a|∗log2(|a|+|b|))$O(|a|\ast lo{g}_2(|a|+|b|))$ 。
• 注意：這裏的合併並非treap的merge。merge(a,b)是強行讓a所有元素的鍵值（要滿足二叉排序樹的性質的那個值）均小於b所有元素的鍵值，所以可以O(log2n)$O(lo{g}_{2}n)$ 做到；而這裏要合併的兩棵平衡樹a、b的鍵值可能是交錯不齊的。

線段樹合併

• OI中常常遇到一些題目，要將若干物件不斷合併，維護信息。
• 如果合併的順序不對，堆/平衡樹的啓發式合併會很慢。比如當你分治+啓發式合併的時候，時間複雜度就變成O(n∗(log2n)2)$O(n\ast (lo{g}_{2}n{)}^2)$ 了。
• 這個時候，就需要線段樹合併。

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• 對於這個，相信大家都想得出下面這種合併步驟：
  
• 爲了方便確定一棵樹是否爲空，我們動態開點。
• 比如，我們合併兩棵權值線段樹：
  
• 顯然，這麼做的複雜度與兩棵樹公共的節點數成正比。
• 但是，假設我們要合併多棵線段樹呢？

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• 假設我們要合併n棵線段樹，定義勢能函數Φ(n)$\mathrm{\Phi }(n)$ 爲它們的節點個數和。
• 每次合併線段樹a、b時，設其公共點數爲c，則合併後的Φ(n)$\mathrm{\Phi }(n)$ 減少c，而時間複雜度增加c。
• 因此，時間複雜度應≤節點個數和。
• 當線段樹中總共有m個元素時（比如n棵權值線段樹，只存有m個數），每個元素都可以動態開闢至多log2n$lo{g}_{2}n$ 個節點。因此，此時的時間複雜度應爲O(n+mlog2n)$O(n+mlo{g}_{2}n)$ 。
• 注意：此時的時間複雜度並不受合併順序的限制。換句話說，不論你按什麼順序合併，只要你是合併n棵只有m個元素的線段樹，時間複雜度就是O(n+mlog2n)$O(n+mlo{g}_{2}n)$ 。

例題

【BZOJ 2212】【Poi2011】 Tree Rotations
【JZOJ5800】【洛谷P4416】 [COCI2017-2018#1] 被單