bzoj2733 [HNOI2012]永無鄉

Description

永無鄉包含 n 座島，編號從 1 到 n，每座島都有自己的獨一無二的重要度，按照重要度可 以將這 n 座島排名，名次用 1 到 n 來表示。某些島之間由巨大的橋連接，通過橋可以從一個島 到達另一個島。如果從島 a 出發經過若干座（含 0 座）橋可以到達島 b，則稱島 a 和島 b 是連 通的。現在有兩種操作：B x y 表示在島 x 與島 y 之間修建一座新橋。Q x k 表示詢問當前與島 x連通的所有島中第 k 重要的是哪座島，即所有與島 x 連通的島中重要度排名第 k 小的島是哪 座，請你輸出那個島的編號。 
 

Input

輸入文件第一行是用空格隔開的兩個正整數 n 和 m，分別 表示島的個數以及一開始存在的橋數。接下來的一行是用空格隔開的 n 個數，依次描述從島 1 到島 n 的重要度排名。隨後的 m 行每行是用空格隔開的兩個正整數 ai 和 bi，表示一開始就存 在一座連接島 ai 和島 bi 的橋。後面剩下的部分描述操作，該部分的第一行是一個正整數 q， 表示一共有 q 個操作，接下來的 q 行依次描述每個操作，操作的格式如上所述，以大寫字母 Q 或B 開始，後面跟兩個不超過 n 的正整數，字母與數字以及兩個數字之間用空格隔開。 對於 20%的數據 n≤1000,q≤1000
 
對於 100%的數據 n≤100000,m≤n，q≤300000 
 

Output

對於每個 Q x k 操作都要依次輸出一行，其中包含一個整數，表 示所詢問島嶼的編號。如果該島嶼不存在，則輸出-1。 
 

Sample Input

5 1
4 3 2 5 1
1 2
7
Q 3 2
Q 2 1
B 2 3
B 1 5
Q 2 1
Q 2 4
Q 2 3

Sample Output

-1
2
5
1
2

正解：線段樹啓發式合併。

以前沒用過啓發式合併，這回學了一下來用。。

和主席樹很像，動態開結點，值域線段樹。每次合併時直接將兩顆線段樹的每個結點合併。複雜度。。均攤是log^2嗎？？（其實我也不知道的說，不過學長說複雜度是對的。。）再用一個並查集維護連通性，於是這題就能完美AC了。然而HNOI居然會有水題。。

ps：啓發式合併複雜度證明，來自巨犇黃嘉泰（並沒有很看懂。。）

線段樹合併的時間複雜度證明

每一次合併的時間複雜度爲 公共點個數

所以總的時間複雜度爲T=∑第i次第i次的公共點個數
設最大的深度爲L=O(logn)，進行一系列的推導：
T=∑第i次第i次的公共點個數=∑第dep層∑第dep層的一個點ii點作爲公共點的總次數=∑第dep層∑第dep層的一個點ii點沒有被覆蓋滿的次數
由於最壞情況下，每次i子樹中指加入一個點，而第dep層的i子樹共有O(2L−dep)個點。
所以有：
T=∑第dep層∑第dep層的一個點ii點沒有被覆蓋滿的次數≤∑第dep層∑第dep層的一個點i2L−dep=∑第dep層2dep2L−dep=∑第dep層2L=L×2L=O(nlogn)
所以單次的均攤複雜度爲O(logn)

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define N (100010)
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int sum[20*N],ls[20*N],rs[20*N],rt[N],fa[N],a[N],pos[N],n,m,sz;
char s[5];

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il int find(RG int x){ return fa[x]==x ? fa[x] : (fa[x]=find(fa[x])); }

il void insert(RG int &x,RG int l,RG int r,RG int v){
    if (!x) x=++sz; if (l==r){ sum[x]++; return; }
    RG int mid=(l+r)>>1;
    if (v<=mid) insert(ls[x],l,mid,v);
    else insert(rs[x],mid+1,r,v);
    sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]]; return;
}

il int merge(RG int x,RG int y){
    if (!x || !y) return x+y;
    ls[y]=merge(ls[x],ls[y]);
    rs[y]=merge(rs[x],rs[y]);
    sum[y]=sum[ls[y]]+sum[rs[y]]; return y;
}

il int query(RG int x,RG int l,RG int r,RG int k){
    if (l==r) return l; RG int mid=(l+r)>>1;
    if (k<=sum[ls[x]]) return query(ls[x],l,mid,k);
    else return query(rs[x],mid+1,r,k-sum[ls[x]]);
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(); RG int u,v,x,k;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) a[i]=gi(),pos[a[i]]=i,fa[i]=i;
    for (RG int i=1;i<=m;++i) u=gi(),v=gi(),u=find(u),v=find(v),fa[u]=v;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) insert(rt[find(i)],1,n,a[i]); m=gi();
    for (RG int i=1;i<=m;++i){
	scanf("%s",s);
	if (s[0]=='B'){
	    u=gi(),v=gi(),u=find(u),v=find(v);
	    if (u!=v) fa[u]=v,rt[v]=merge(rt[u],rt[v]);
	}
	if (s[0]=='Q'){
	    x=gi(),k=gi(),x=find(x);
	    if (sum[rt[x]]<k){ printf("-1\n"); continue; }
	    printf("%d\n",pos[query(rt[x],1,n,k)]);
	}
    }
    return;
}

int main(){
    File("neverland");
    work();
    return 0;
}