整數拆分的兩種解法

前幾天在算法書上看到一個整數拆分的題目，覺得挺有意思，記錄如下：

 

題目一：給定一個整數n，輸出這個整數拆分的可能總數

例如：n==6有

6

5+1

4+2    4+1+1

3+3    3+2+1     3+1+1+1

2+2+2     2+2+1+1        2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

共11種分解方法，所以輸出應該爲11。

分析一

拆分按照因子從大到小排列，每一次拆分都可視爲問題規模的減少，所以可以使用遞歸解決。

設q(n,m)爲整數n使用不大於m的整數進行拆分的所有情況總數，因此有

1）當n==m時

可以分爲兩種情況，一個是使用n本身，只有一種情況。二個是使用不大於n-1的整數進行拆分。

所以此時q(n,m)=1+q(n,n-1)；

2）當n<m時

使用比n大的數進行拆分沒有意義，所以此時q(n,m)=q(n,n)

3）當n>m時

這時候有兩種情況，一個是使用m對n進行拆分，一個是使用小於m的數對n進行拆分

對於第一個，使用m對n進行拆分，所以拆分出來的情況最大的數是m，剩下的所有數加起來爲n-m，問題變成使用不大於m的整數對n-m進行拆分，所以此時爲q(n-m,m)

對於第二個，使用小於m的數對n進行拆分，表示爲q(n,m-1)

4）當n==1或者m==1時 只有一種情況，返回1。注意，這裏可能會漏掉m==1的情況，實際上這種情況是存在的。

所以可以使用遞歸函數編程如下：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

int q(int n,int m){
    if(n==1||m==1){
        return 1;
    }
    if(n<m)  return q(n,n);
    if(n==m){
        return q(n,m-1)+1;
    }
    if(n>m)
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}

void main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        printf("%d\n",q(n,n));
    }
}

分析二

使用母函數法

整數分解用母函數可以這樣理解，分別用任意個1，2，3，4，……，n可以加起來可以表示成n的種數。又因爲當使用整數m對n進行分解時，所使用的次數不能多於n/m次，所以可以寫下母函數如下：

G(x)＝(1+x^1+x^2+……+x^n)*(1+x^2+x^4+……+x^((n/2)*2))*……

          ＊(1+x^m+x^(2*m)+x^(3*m)+……+x^((n/m)*m))*……*(1+x^n)

在程序中使用set數組表示每一輪乘法後得到係數，c數組表示到現在爲止乘法得到的係數總和。最後算出結果後x^n對應的係數則爲可分解的可能數。代碼如下：

#include<stdio.h>
const int num=1000;
int set[num];
int c[num];
void init(){
    for(int i=0; i<num; i++){
        c[i]=1;
        set[i]=0;
    }
}

int main(){
    int n;
    int sum;
    init();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        sum=0;
        init();
        for(int i=2; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<=n; j+=i){
                for(int k=0; j+k<=n; k++){
                        set[k+j]+=c[k];
                }
            }
            for(int x=0; x<=n; x++){
                c[x]=set[x];
                set[x]=0;
            }
        }
        printf("%d\n",c[n]);
    }
    return 0;
}

題目二：給定一個整數n，輸出這個整數拆分的可能形式（即輸出全部情況）

使用遞歸情況（輸出實在麻煩。。弄了很久(>﹏<)）

整個輸出類似於一顆樹，以分解6爲例，過程如下圖

 代碼如下：

#include <stdio.h>

//使用一個數組記錄在遞歸過程中產生的前面需要重複輸出的值
int set[100];
//用於在遞歸過程中判斷是否遞歸到最深處，輸出回車
int k;

//此函數表示使用不大於m的整數對n進行拆分的情況，i用於表示set數組已經存在的記錄數長度
void q(int n,int m,int i){
    if(n==k&&n!=m){
        //此時遞歸棧已經退回到某一分支的最上層，輸出回車
        //並重置計數器i爲0
        printf("\n");
        i=0;
    }
    if(n==1){
        //當n爲1，意味者着只能表示1
        printf("1 ");
        return;
    }
    else if(m==1){
        //當m爲1，意味着要輸出n個m相加
        for(int i=0; i<n-1; i++)
            printf("1+");
        printf("1 ");
        return;
    }
    if(n<m) {
        q(n,n,i);
    }
    if(n==m){
        //當n等於m時，到達本次遞歸求和的一個葉子，此時需要輸出多一個空格，表示下一次輸出爲另一個葉子
        printf("%d ",n);
        //在遞歸輸出另一個葉子之前，將之前記錄的在葉子之上的數一併輸出，如上圖示過程1
        for(int j=0; j<i; j++)
            printf("%d+",set[j]);
        q(n,m-1,i);

    }
    if(n>m){
        //如果n大於m，使用m作爲分解，則要首先輸出m+的形式
        printf("%d+",m);
        //記錄下作爲樹幹節點m的值並使i自增
        set[i++]=m;
        //遞歸輸出m+以後的分解
        q(n-m,m,i);
        //遞歸完畢後需要將數組記錄後退一個，回到上一個節點，如上圖示過程2
        i--;
        //執行另一個分支，在下一次遞歸之前輸出記錄的數據，如上圖示過程3
        for(int j=0; j<i; j++)
            printf("%d+",set[j]);
        //遞歸輸出另一分支情況
        q(n,m-1,i);
    }


}

void main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        if(n<=0){
            printf("Please input a positive interger.\n\n");
            continue;
        }
        k=n;