堆排序

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堆排序

之前的隨筆寫了棧（順序棧、鏈式棧）、隊列（循環隊列、鏈式隊列）、鏈表、二叉樹，這次隨筆來寫堆

1、什麼是堆？

堆是一種非線性結構，（本篇隨筆主要分析堆的數組實現）可以把堆看作一個數組，也可以被看作一個完全二叉樹，通俗來講堆其實就是利用完全二叉樹的結構來維護的一維數組

按照堆的特點可以把堆分爲大頂堆和小頂堆

大頂堆：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值

小頂堆：每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值

（堆的這種特性非常的有用，堆常常被當做優先隊列使用，因爲可以快速的訪問到“最重要”的元素）

 

2、堆的特點（數組實現）

 

（圖片來源：https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html）

我們對堆中的結點按層進行編號，將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

（圖片來源：https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html）

 

我們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是：（讀者可以對照上圖的數組來理解下面兩個公式）

大頂堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2] 

小頂堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2] 

 

3、堆和普通樹的區別

內存佔用：

普通樹佔用的內存空間比它們存儲的數據要多。你必須爲節點對象以及左/右子節點指針分配額外的內存。堆僅僅使用數組，且不使用指針

（可以使用普通樹來模擬堆，但空間浪費比較大，不太建議這麼做）

平衡：

二叉搜索樹必須是“平衡”的情況下，其大部分操作的複雜度才能達到O(nlog2n)。你可以按任意順序位置插入/刪除數據，或者使用 AVL 樹或者紅黑樹，但是在堆中實際上不需要整棵樹都是有序的。我們只需要滿足對屬性即可，所以在堆中平衡不是問題。因爲堆中數據的組織方式可以保證O(nlog2n) 的性能

搜索：

在二叉樹中搜索會很快，但是在堆中搜索會很慢。在堆中搜索不是第一優先級，因爲使用堆的目的是將最大（或者最小）的節點放在最前面，從而快速的進行相關插入、刪除操作

 

4、堆排序的過程

先了解下堆排序的基本思想：

將待排序序列構造成一個大頂堆，此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換，此時末尾就爲最大值。然後將剩餘n-1個元素重新構造成一個堆，這樣會得到n個元素的次小值，

如此反覆執行，便能得到一個有序序列了，建立最大堆時是從最後一個非葉子節點開始從下往上調整的（這句話可能不好太理解），下面會舉一個例子來理解堆排序的基本思想

 

給一個無序序列如下

int a[6] = {7, 3, 8, 5, 1, 2};

現在可以根據數組將完全二叉樹還原出來

好了，現在我們要做的事情就是要把7，3，8，5，1，2變成一個有序的序列，如果想要升序就是1，2，3，5，7，8   如果想要降序就是8，7，5，3，2，1 ，這兩種就是我們要的最終結果，然後我們就可以根據我們想要的結果來選擇

適合類型的堆來進行排序

升序----使用大頂堆

降序----使用小頂堆

5、爲什麼升序要用大頂堆呢

上面提到過大頂堆的特點：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值，我們把大頂堆構建完畢後根節點的值一定是最大的，然後把根節點的和最後一個元素（也可以說最後一個節點）交換位置，那麼末尾元素此時就是最大元素了（理解這點很重要）

知道了堆排序的原理下面就可以來操作了，在進行操作前先理清一下步驟

 

（假設我們想要升序的排列）

第一步：先n個元素的無序序列，構建成大頂堆

第二步：將根節點與最後一個元素交換位置，（將最大元素"沉"到數組末端）

第三步：交換過後可能不再滿足大頂堆的條件，所以需要將剩下的n-1個元素重新構建成大頂堆

第四步：重複第二步、第三步直到整個數組排序完成

 

6、圖解交換過程（得到升序序列，使用大頂堆來調整）

這裏以int a[6] = {7, 3, 8, 5, 1, 2}爲例子

先要找到最後一個非葉子節點，數組的長度爲6，那麼最後一個非葉子節點就是：長度/2-1，也就是6/2-1=2，然後下一步就是比較該節點值和它的子樹值，如果該節點小於其左\右子樹的值就交換（意思就是將最大的值放到該節點）

8只有一個左子樹，左子樹的值爲2，8>2不需要調整

 

 

下一步，繼續找到下一個非葉子節點（其實就是當前座標-1就行了），該節點的值爲3小於其左子樹的值，交換值，交換後該節點值爲5，大於其右子樹的值，不需要交換

下一步，繼續找到下一個非葉子節點，該節點的值爲7，大於其左子樹的值，不需要交換，再看右子樹，該節點的值小於右子樹的值，需要交換值

下一步，檢查調整後的子樹，是否滿足大頂堆性質，如果不滿足則繼續調整（這裏因爲只將右子樹的值與根節點互換，只需要檢查右子樹是否滿足，而8>2剛好滿足大頂堆的性質，就不需要調整了，

如果運氣不好整個數的根節點的值是1，那麼就還需要調整右子樹）

 

到這裏大頂堆的構建就算完成了，然後下一步交換根節點（8）與最後一個元素（2）交換位置（將最大元素"沉"到數組末端），此時最大的元素就歸位了，然後對剩下的5個元素重複上面的操作

（這裏用粉紅色來表示已經歸位的元素）

剩下只有5個元素，最後一個非葉子節點是5/2-1=1，該節點的值（5）大於左子樹的值（3）也大於右子樹的值（1），滿足大頂堆性質不需要交換

找到下一個非葉子節點，該節點的值（2）小於左子樹的值（5），交換值，交換後左子樹不再滿足大頂堆的性質再調整左子樹，左子樹滿足要求後再返回去看根節點，根節點的值（5）小於右子樹的值（7），再次交換值

 

得到新的大頂堆，如下圖，再把根節點的值（7）與當前數組最後一個元素值（1）交換，再重構大頂堆->交換值->重構大頂堆->交換值····，直到整個數組都變成有序序列

 

最後得到的升序序列如下圖

C++代碼實現：

#include <stdio.h>

void Swap(int *heap, int len);        /* 交換根節點和數組末尾元素的值 */
void BuildMaxHeap(int *heap, int len);/* 構建大頂堆 */

int main()
{
    int a[6] = {7, 3, 8, 5, 1, 2};
    int len = 6;    /* 數組長度 */
    int i;

    for (i = len; i > 0; i--)
    {
        BuildMaxHeap(a, i);
        Swap(a, i);
    }
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        printf("%d ", a[i]);
    }

    return 0;
}
/* Function: 構建大頂堆 */
void BuildMaxHeap(int *heap, int len)
{
    int i;
    int temp;

    for (i = len/2-1; i >= 0; i--)
    {
        if ((2*i+1) < len && heap[i] < heap[2*i+1])    /* 根節點大於左子樹 */
        {
            temp = heap[i];
            heap[i] = heap[2*i+1];
            heap[2*i+1] = temp;
            /* 檢查交換後的左子樹是否滿足大頂堆性質 如果不滿足 則重新調整子樹結構 */
            if ((2*(2*i+1)+1 < len && heap[2*i+1] < heap[2*(2*i+1)+1]) || (2*(2*i+1)+2 < len && heap[2*i+1] < heap[2*(2*i+1)+2]))
            {
                BuildMaxHeap(heap, len);
            }
        }
        if ((2*i+2) < len && heap[i] < heap[2*i+2])    /* 根節點大於右子樹 */
        {
            temp = heap[i];
            heap[i] = heap[2*i+2];
            heap[2*i+2] = temp;
            /* 檢查交換後的右子樹是否滿足大頂堆性質 如果不滿足 則重新調整子樹結構 */
            if ((2*(2*i+2)+1 < len && heap[2*i+2] < heap[2*(2*i+2)+1]) || (2*(2*i+2)+2 < len && heap[2*i+2] < heap[2*(2*i+2)+2]))
            {
                BuildMaxHeap(heap, len);
            }
        }
    }
}

/* Function: 交換交換根節點和數組末尾元素的值*/
void Swap(int *heap, int len)
{
    int temp;

    temp = heap[0];
    heap[0] = heap[len-1];
    heap[len-1] = temp;
}