hihoCoder-week144:機會渺茫

題目描述：

小Hi最近在追求一名學數學的女生小Z。小Z其實是想拒絕他的，但是找不到好的說辭，於是提出了這樣的要求：對於給定的兩個正整數N和M，小Hi隨機選取一個N的約數N'，小Z隨機選取一個M的約數M'，如果N'和M'相等，她就答應小Hi。

小Z讓小Hi去編寫這個隨機程序，到時候她review過沒有問題了就可以抽籤了。但是小Hi寫着寫着，卻越來越覺得機會渺茫。那麼問題來了，小Hi能夠追到小Z的機率是多少呢？

解決思想：

假設N有Nnum個約數，M有Mnum個約數，N和M共有same個相同的約數。對於一個公共約數，在N中抽取到它的概率爲1/Nnum，M爲1/Mnum,所以同時抽取到這個公共約數的概率爲1/(Nnum*Mnum)。一共有same個公共約數，則總概率爲same個1/(Nnum*Mnum)相加，則概率爲same/(Nnum*Mnum)。

如何求解same：same即爲N和M最大公因數的約數個數。

需要實現的算法：

1.給定一個數，求解它的約數總個數。

2.給定兩個數，求解它們的最大公因數。

實現算法原理：

1.O(sqrt(N))求約數個數法

比如要求解36的約數，我們可以把36如下分解：

36=1*36

36=2*18

36=3*12

36=4*9

36=6*6

注意我們只寫出了小於等於sqrt(36)個等式就找到了它（36）所有的約數，共九個。因爲當我們找到A的約數B時，也可默認得到A/B是A的另一個約數（如果A/B和B 不相等的話），這樣我們就想到，在計算N的約數個數時可以只檢查前sqrt(N)個數是否爲N的約數，若爲，則約數個數加2（若約數的平方等於N時再-1）

具體實現代碼如下：

long divisor_num(long num){
    long i;
    long result=0;
    for(i=1;i<=sqrt(num);i++){
        if(!(num%i)){
            result+=2;
            if(i*i==num)
                result--;
        }
    }
    return result;
}

2.使用Euclidean algorithm求解最大公因數

假設求解a、b的公因數gcd，且a>=b。易知，gcd也是a、a-b的公因數，那麼如何證明gcd是最大公因數呢，我是這樣想的。

因爲gcd是a、b的最大公因數，所以a=m*gcd,b=n*gcd，m和n互質(即m和n的最大公約數爲1，gcd已經完全從m、n抽取了相同的約數）。

兩式相減得到a-b=(m-n)*gcd，若m-n和m互質，那麼gcd也就是a與a-b的最大公約數。由於m和n互質，那麼顯然m-n和m互質。

由於gcd是a、a-b的最大公因數，那麼顯然gcd也是a、a%b（即a-kb）的最大公因數。

具體實現代碼如下：

long find_gcd(long x,long y){
    return y==0?x:find_gcd(y,x%y);
}

當x<y時，迭代下一步就會調換xy的位置。

當每一次計算的餘數都會減小，所以最後y一定等於0從而算出最大公約數x。

算法整體代碼：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

long divisor_num(long num){
    long i;
    long result=0;
    for(i=1;i<=sqrt(num);i++){
        if(!(num%i)){
            result+=2;
            if(i*i==num)
                result--;
        }
    }
    return result;
}

long find_gcd(long x,long y){
    return y==0?x:find_gcd(y,x%y);
}

int main()
{
    long N,M;
    cin>>N>>M;
    long Nnum=divisor_num(N);
    long Mnum=divisor_num(M);
    long same=divisor_num(find_gcd(N,M));
    long tmp=find_gcd(Nnum*Mnum,same);
    cout<<Nnum*Mnum/tmp<<" "<<same/tmp;
    return 0;
}