歐幾里德算法
歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。gcd函數就是用來求(a,b)的最大公約數的。
gcd函數的基本性質：
性質一：gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
證明略。
性質二：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r ，d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則 d|b , d|r ，又a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
利用性質二可得
//求GCD的循環方法
int Gcd(int a,int b)
{
for(int c=a%b;c;a=b,b=c,c=a%b);
return b;
}
//求GCD的遞歸方法
int Gcd(int a,int b)
{
return b?MGcd(b,a%b):a;
}
//時間複雜度O(lgn)
擴展歐幾里德算法
定理一：對於不完全爲 0 的非負整數 a，b，gcd(a,b)表示 a，b 的最大公約數，必然存在整 數對 x，y ，
使得gcd(a,b)=ax+by。
解：設a、b不全爲0，令a>b，
當b=0時，gcd(a,b)=a,解的情況爲x=1，y=0
當ab！=0，令
a*x1+b*y1 = gcd（a,b)
b*x2+(a%b)*y2 = gcd(b,a-a/b*b)
又gcd(a,b) = gcd(b,a-a/b*b)
故有a*x1+b*y1 = b*x2+(a%b)*y2
a*x1+b*y1 = b*x2+(a-a/b*b)*y2
= b*x2+a*y2-a/b*by2
= a*y2+b*(x2-a/b*y2)
即有，x1=y2, y1=x2-a/b*y2
由上推導可知，x1與y1的值可由x2、y2推知，拓展歐幾里得算法就是不斷地的將b放小，直至b等於0，最後反推求回x和y。
//算法,解方程ax+by=gcd(a,b),其中d=gcd(a,b)
void MEuclid(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(b==0){d=a;x=1;y=0;return;}
MEuclid(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
遞歸求值：當b=0時，x=1，y=0 （ax+by = GCD（a，b））；由x1=y2, y1=x2-a/b*y2倒推，最後求值。
解不定方程ax+by=c
定理二：對於不定整數方程ax+by=c ，若 c mod gcd(a,b)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
故當c mod gcd(a,b)=0，先用擴展歐幾里得算法求出ax+by=gcd(a,b)的一組解x1,y1。
則x2=x1*c/gcd(a,b)，y2=y1*c/gcd(a,b)爲ax+by=c的一組解。
x=x2+b/gcd(a,b)*t,y=y2-a/gcd(a,b)*t,(t爲整數)，即爲ax+by=c的所有解。
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