1、該問題包含兩個子問題：
子問題1：給你一個骰子，你扔到幾，機器將會給你相應的金錢。比如，你扔到6，機器會返回你6塊錢，你扔到1，機器會返回你1塊錢。請問，你願意最多花多少錢玩一次？
子問題2：在子問題1裏，你只能扔一次，現在呢，可以給你兩次機會，但是你自己也可以選擇只扔一次。但返回的錢以最後一次爲準。比如，第一次你扔了6，你把第二次機會就放棄了，這樣機器會返給你6塊錢。但是，假設你第一次扔了3，你如果對這一次不滿意，打算再扔一次，如果你第二次扔到了2，那麼你最後只能得到2塊錢，如果第二次扔到5，你最後會得到5塊錢。請問，在這種條件下，你願意最多花多少錢玩一次？
分析：
對於子問題1，非常簡單，本質上是求數學期望。因爲骰子每一面被扔到的概率是一樣的，即 1/6. 所以，最後期望值是 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + ... + 6 * 1/6 = 3.5. 也就是說，假設你玩無窮次，平均下來，機器會返回給你的錢是 3.5. 所以，如果你頭腦清醒的話，你應該不會花超過3.5去玩一次。
對於子問題2，解答起來是有困難的。因爲這題裏面有一個選擇的問題：你可以只扔一次，或者選擇扔兩次。所以不容易去獲得每個值的概率（因爲我們不知道到底扔不扔第二次）。但是，如果有了子問題1的答案，其實對於決定是否扔第二次還是有根據的，原因如下：
如果你第一次扔到了1，或者2，或者3，你一定會扔第二次。爲什麼（問題的關鍵）？因爲我們在扔第二次的時候，它的期望收益是 3.5。同理，如果你第一次扔到了4,5,6，你不會選擇扔第二次，因爲你知道下一次的期望收益是 3.5，比你目前的收益會小。有了這樣的分析，問題就可以迎刃而解了。
解答：
因爲骰子總共6面。第一次扔到4, 5, 6 其中之一的概率是 1/2, 那麼選擇扔第二次的概率也是1/2。在第一次扔到4,5,6其中之一這個事件裏，平均收益是4* 1/3 + 5 * 1/3 + 6* 1/3 = 5. 在第二次扔的時候，平均收益是 3.5(子問題1的答案)。所以最後總的收益是 5 * 1/2 + 3.5 * 1/2 = 4.25。
2假設你參加了一個遊戲節目，現在要從三個密封的箱子中選擇一個。其中兩個箱子是空的，另一個箱子裏面有大獎(你偶像的簽名^^)。你並不知道獎在哪一個箱子裏，但主持人知道。遊戲節目的主持人先要你選擇一個箱子，接着他把你沒有選的空箱子打開，以證明它是空的。最後主持人給你換箱子的機會，你可以把你所選擇的箱子換成另一個沒有打開的箱子。此時你該不該換箱子？
分析：
要相信直覺。你當然應該換箱子！我們把三個箱子編號A,B,C，並假設你選的是A箱。顯然獎品在A裏的概率是1/3，在B或C裏的概率是2/3。B和C可能有一個是空的，也可能兩個都是空的。因此，當你選擇了A箱後，主持人很可能會打開B箱或C箱，以顯示裏面是空的。在這種情況下，主持人的舉動並不會影響獎品在A箱裏面的機會。我們假設主持人打開了B箱，以告訴你它是空的。現在A箱有獎品的概率還是1/3，B箱裏面有獎品的概率是0，因此C箱裏面有獎品的概率是2/3。在這種情況下，你應該換到C箱，因爲它使你贏的機會提高了1倍！
題目2
有一蘋果，兩個人拋硬幣來決定誰喫這個蘋果，先拋到正面者喫。問先拋者喫到蘋果的概率是多少？
分析：
我首先想到的就是把 第一次拋到正面的概率 + 第二次拋到的概率 + …..+無窮多次，當然後面的概率幾乎爲0了。 結果就是 P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ …… 最後的結果就是 P = 2/3 . 這個計算也不難，其實就是等比數列，比爲1/4. 簡單的無窮級數 (1/2) / (1-1/4) = 2/3. 1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+… (-1<x<1)
還有一個別人的分析：給所有的拋硬幣操作從1開始編號，顯然先手者只可能在奇數（1,3,5,7…）次拋硬幣得到蘋果，而後手只可能在偶數次（2,4,6,8…）拋硬幣得到蘋果。設先手者得到蘋果的概率爲p，第1次拋硬幣得到蘋果的概率爲1/2，在第3次（3,5,7…）以後得到蘋果的概率爲p/4（這是因爲這種只有在第1次和第2次拋硬幣都沒有拋到正面（概率爲1/4=1/2*1/2）的時候纔有可能發生，而且此時先手者在此面臨和開始相同的局面）。所以可以列出等式p=1/2+p/4，p=2/3。
題目3
條長度爲l的線段，隨機在其上選2個點，將線段分爲3段，問這3個子段能組成一個三角形的概率是多少？
分析:
設隨機選取的兩個數爲x，y，並令y>x，則把長度爲1的線段截得的三段長度爲x， y-x ，1-y，根據三角形兩邊和大於第三邊以及兩邊之差小於第三邊的定理，可以列出方程組
y>1-y; x<1-x; x+(1-y)>y-x;
即x<1/2; y>1/2; y>x+1/2;
畫圖可以算得概率爲1/8；（線性規劃的思想）
題目4
世界上每十萬人中就有一人是艾滋病患者。艾滋病的檢測目前已經很準確，但並非萬無一失。它的檢測準確率是99%，假設你剛去做完艾滋病檢驗，得到的了檢測報告，結果….是陽性！你會絕望或昏倒嗎？或者說，你會擔心到什麼程度？
分析：
你大可不必那麼擔心，因爲你幾乎可以確定沒有得艾滋病。什麼？檢測是陽性還幾乎可以確定沒有艾滋病？！是的，爲了說明這一點，假設有100萬人和你做了同樣的檢驗。在這100萬人中，得病的會有10個，沒有得病的有999990個。當這些人接受檢驗時，9~10個人患有艾滋病的人會呈現陽性反應，另外999990個沒有得病的人則會有1%出現錯誤的陽性反應，換算成人數大概是1萬人。也就是說，大約10000個陽性診斷中，實際只有10個左右是真正患者。因此，絕大多數所呈陽性的反應都是誤診。當你得到陽性的檢測結果時，真正得艾滋病的機會大概只有千分之一。（當然，如果你在檢測之前做了很可能感染艾滋病的事，那就另當別論了）
題目5
有一對夫婦，先後生了兩個孩子，其中一個孩子是女孩，問另一個孩子是男孩的概率是多大？
答案是2/3.兩個孩子的性別有以下四種可能：（男男）（男女）（女男）（女女），其中一個是女孩，就排除了（男男），還剩三種情況。其中另一個是男孩的佔了兩種，2/3. 之所以答案不是1/2是因爲女孩到底是第一個生的還是第二個生的是不確定的。
題目6
一個國家人們只想要男孩，每個家庭都會一直要孩子，只到他們得到一個男孩。如果生的是女孩，他們就會再生一個。如果生了男孩，就不再生了。那麼，這個國家裏男女比例如何？
分析：
一開始想當然的以爲男多女少，畢竟都想要男孩。但是注意這句話“如果生了男孩，就不再生了”，一個家庭可能有多個女孩，只有一個男孩。再仔細分析，我們來計算期望值，只用計算一個家庭就行了。設一個家庭男孩個數的期望值爲S1，女孩爲S2.
根據題目條件，男孩的個數期望值S1=1這個是不用計算了。主要計算S2
一個家庭的孩子數量可以爲:1,2,3,4,5….. 對應的的男女分佈爲: “男”,”女男”,”女女男”,”女女女男”,”女女女女男”…
對應的概率分佈爲 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。其中女孩的個數分別爲 0,1,2,3,4……
因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………
可以按照題目2用級數求，也可以用錯位相減法：S2=1/4+2/8+3/16+4/32+… 兩邊乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..
兩個式子相減得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都爲1，男女比例是一樣的。
5、你有兩個罐子以及50個紅色彈球和50個藍色彈球，隨機選出一個罐子然後從裏面隨機選出一個彈球，怎麼給出紅色彈球最大的選中機會?在你的計劃裏，得到紅球的機率是多少? 題目意思是兩個罐子裏面放了50紅色和50藍色彈球，然後我任選一個罐子，從中選中一個紅球的最大概率，是設計一個兩個罐子裏怎麼放這100球的計劃。一個罐子：1個紅球另一個罐子：49個紅球，50個籃球機率=1/2+(49/99)*(1/2)=74.7%
6、一副撲克牌54張，現分成3等份每份18張，問大小王出現在同一份中的概率是多少？（大意如此）
解答1：
54張牌分成3等份，共有M=(C54取18)*(C36取18)*(C18取18)種分法。
其中大小王在同一份的分法有N=(C3取1)*(C52取16)*(C36取18)*(C18取18)種。
因此所求概率爲P=N /M=17/53。
解答2：
不妨記三份爲A、B、C份。大小王之一肯定在某一份中，不妨假定在A份中，概率爲1/3。然後A份只有17張牌中可能含有另一張王，而B份、C份則各有18張牌可能含有另一張王，因此A份中含有另一張王的概率是17/(17+18+18)=17/53。
也因此可知，A份中同時含有大小王的概率爲1/3 * 17/53。
題目問的是出現在同一份中的概率，因此所求概率爲3*(1/3 * 17/53)=17/53。
7、A和B2人投硬幣,正面A得1元,反面B得一元.起始時A有1元,B有100元.
遊戲持續進行,直到其中1人破產才終止.
問:
1.如果硬幣正反概率相同,遊戲的期待長度(expected duration)是幾次投擲?
2.如果硬幣是不公正的,正面概率爲P,反面概率爲Q.(P+Q=1), 那麼遊戲的期待長度(expectedduration)是幾次投擲?
答案還沒整理
8、完美2011.10.16筆試題:2D平面上有一個三角形ABC，如何從這個三角形內部隨機取一個點，且使得在三角形內部任何點被選取的概率相同。
在二維座標系中可以用座標（x，y）來表示圖形中的一個點。如下圖只要能夠在各個帶雙向箭頭的圖之間的點能夠建立一一映射即可。如把一個長方形（如正方形）的點映射到另一個長方形的點只要把座標做相應的放大縮小即可。如把長方形的點映射到一個直角三角形，只要將長方形右上部份的三角形的點映射到對稱的左下角的三角形的點即可。而直角三角形映射到一邊平行於x軸的三角形的映射只要做x軸相應的偏移即可。而任意三角形可以分割成兩個其中有一邊平行於x軸的三角形。說的不是很清楚，具體的映射方法可以認真思考並寫出公式。
9、平均要取多少個(0,1)中的隨機數才能讓和超過1。答案： e 次， 其中e是自然對數的底
10、編程之美：金剛坐飛機問題
大家都在排隊上飛機，然後金剛來了，他也有票，但是插隊第一個上了飛機，隨便找了個座位坐下了，其餘人的策略是：
如果自己票上寫的座位沒被佔就按照座位坐，被佔了就變身成金剛，隨便找地兒坐。問第i個人坐在自己座位的概率是多少？
1..n一共n個座位，爲了方便計算起見，我們做一個變換
變換1：金剛的票上的座位是最後一個，也就是第n個，其餘人的票和座位再按照原先的順序排列成1..n-1。
這樣並不影響最終的概率，因爲如果
1）金剛坐在自己的位置上，那麼大家同樣都是肯定坐在自己的位置上。
2）如果金剛坐在第i個位置(非他票上的座位)上，那麼前i-1個人會坐在自己的位置上，與變換前相同，而第i個人肯定不會坐在自己的位置上，他會在變換前的金剛的座位再加上i+1..n的集合中隨機挑一個座位，這也有變換前相同，他挑的座位對於後面人的影響也是與變換前相同的。
設F(i,n)爲新的n個座位的排列中第i個人坐到自己位置上的概率，那麼舊排列中第i個人坐到自己位置的概率就是
F(i,n) i<j;
F(i-1,n) i>j;
j爲金剛票上的座位
那麼我們現在來計算F(i,n)，後面的討論全部基於變換後的排列。
對於乘客i，金剛的選擇會造成3種情況，假設金剛選擇的是j，分別爲i<j，i=j，i>j，概率分別爲(n-i)/n，1/n，(i-1)/n。
如果i<j，即金剛選擇的座位在i的後面(我們做變換1的目的就在於此，如果不做那麼還要考慮金剛坐到自己的位置的情況，而他自己的位置卻是不確定的)，那麼乘客i必然會坐到自己的位置，概率爲1，(n-i)/n*1
如果i=j，概率爲0
如果i>j，那麼前j-1個人肯定坐在自己的位置上，而第j個人就變身成了金剛，這樣可以看做他就是金剛，他原來的座位就是n。
變換2：前j-1個人是打醬油的，跟後面的事件無關了，因爲金剛在j上，所以第j個人變成了金剛2，他的票號是最後一個，j+1..n-1號乘客成了新的受害者，將j+1..n-1從1開始重新編號，座位數變成n-j
故第i個人坐在原來座位的概率爲F(i-j,n-j)
所以概率爲
綜上
有
最後的結果是
F(i,n) i<j;
F(i-1,n) i>j;
j爲金剛票上的座位