兩類樹形DP問題

[背景]

給定一顆樹（多叉），詢問按照邊（點）的掌管原則，控制次數需要的最小代價

按照邊 ：

即對於每條邊的兩個點，至少有一個點花費代價，詢問最小代價

[分析]

令f[i]代表在第i節點花費代價、看管以i爲根的子樹的最小代價，g[i]代表i節點不花費

代價，顯然f[x] =∑ min(f[y],g[y])+1、g[x]=∑f[y]其實很好理解，如果i節點放置，

則其兒子節點無所謂，如果i節點不放置，則其兒子節點必須放置

按照點 ：

即對於直接相連的兩個點，至少有一個點花費代價，詢問最小代價

[分析]

寫轉移方程要有切入點，或者

按照一個維度去討論，在這裏我們按照x節點有誰掌管來討論：

1.由自己看管，顯然兒子節點什麼狀態無所謂

2.由兒子節點看管，那麼兒子節點中至少一個自己看管自己，

？？？還有其他可能嗎

3.由父親看管(很容易漏的)，因爲感覺1、2已經包含3這種情況了， 但是試想一下，

在x節點自己掌控自己的話，y作爲x的兒子節點，狀態隨意。可以自己看管自己，可

以由兒子節點看管（需要保證兒子節點至少一個保存的爲f[y]）、或者由父親節點看

管（可以全爲g[y]）

f[x] =∑ min(f[y],g[y],h[y])+1、

g[x]=∑min(f[y],g[y])+delta；delta=max(min(f[y]-g[y]),0)

h[x]=∑ min(f[y],g[y])

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1500 + 5;
const int inf = 1e8;
int s[N][N], num[N], du[N], f[N], g[N], h[N];
int n;
void dfs(int x)
{
    if (num[x] == 0)
    {
        f[x] = 1;
        g[x] = inf;
        h[x] = 0;
        return ;
    }
    int y = s[x][1];
    int delta = inf;
    for (int i = 1; i <= num[x]; i++)
    {
        y = s[x][i];
        dfs(y);
        f[x] += min(min(f[y], g[y]), h[y]);
        g[x] += min(f[y], g[y]);
        h[x] += min(f[y], g[y]);
        delta = min(delta, f[y] - g[y]);
    }
    f[x]++;
    if (delta > 0 && delta != inf)
        g[x] += delta;
    printf ("%d : (%d, %d)\n",x,f[x],g[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int k;
        scanf("%d", &k);
        scanf("%d", &num[k]);
        for (int i = 1; i <= num[k]; i++)
        {
            scanf("%d", &s[k][i]);
            du[s[k][i]]++;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
      if (du[i] == 0)
    {
        dfs(i);
        printf("%d", min(f[i],g[i]));
        break;
    }
    return 0;
}

後記

好久沒打dp了，（果然手生了不少，以後推出方程後，要想找幾種極端情況檢驗一

下，避免狀態漏掉