求最長迴文子串

迴文串，就是指正讀和反讀都一樣的字符串，比如"level"或者"noon"等等。

那麼，如何求一個字符串的最長迴文子串（Longest Palindromic Substring）？這裏我們有多種解法。

解法一：暴力法

暴力解法就是直接枚舉所有子串，對每個子串判斷是否爲迴文，時間複雜度爲O(n3) 。

這是最糟糕的方法，相信面試官問你這個問題，絕對不是想要這個答案。

解法二：動態規劃法O(n2)

動態規劃法是在暴力解法上進行的優化。通過記錄一些我們需要的東西，來避免暴力解法中很多重複的判斷。

假設 dp[i][j] 表示子串 s[i...j] 是否是迴文，那麼對於動態規劃表 dp 的打表方式如下：

• 初始化：
  

  ⎧⎩⎨dp[i][i]=truedp[i][i−1]=trueothers=fasle(0 <= i <= n-1)(1 <= i <= n-1) 

• 動態規劃的狀態轉移方程：
  

  dp[i][j]=⎧⎩⎨dp[i+1][j−1],false,if s[i] == s[j]if s[i] ≠ s[j]

C++代碼如下

string longestPalindrome(string s) {
    int len = s.size();
    if(len <= 1) return s;
    // 動態規劃表，全部初始化爲true
    vector<vector<bool>> dp(len, vector<bool>(len, true));

    int start = 0, maxlen = 0;
    for(int k=2; k<=len; ++k) {    // 枚舉子串的長度
        for(int i=0; i<=len-k; ++i) {  // 枚舉子串起始位置
            int j = i+k-1;
            if(s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1])
            {
                dp[i][j] = true;
                start = i;      // 記錄迴文子串的起點和長度
                maxlen = k;
            }
        }
    }

    return s.substr(start, maxlen);
}

解法三：中心擴展法O(n2)

這個算法思想其實很簡單，就是對給定的字符串S，分別以該字符串S中的每一個字符 c 爲中心，向兩邊擴展，記錄下以字符 c 爲中心的迴文子串的長度。時間複雜度爲O(n2) ，空間複雜度僅爲O(1) 。

但有一點需要注意的是，迴文的情況可能是 a b a，也可能是 a b b a。

// 分別向左右擴展，返回擴展後的字符串
string expand(string s, int left, int right) {
    int len = s.size();
    while (left>=0 && right<len && s[left] == s[right]) 
    {
        left--;
        right++;
    }
    return s.substr(left+1, right-left-1);
}

// 求最長迴文子串
string longestPalindrome(string s) {
    int len = s.size();
    if(len<=1) return s;

    string longest;
    for (int i=0; i<len-1; i++) 
    {
        string p1 = expand(s, i, i);  // 奇數
        if (p1.size() > longest.size())
            longest = p1;

        string p2 = expand(s, i, i+1);  // 偶數
        if (p2.size() > longest.size())
            longest = p2;
    }
    return longest;
}

另外，據說還有一個很巧妙的算法，叫Manacher算法，可以在 O(n) 的時間複雜度裏求出最長迴文子串。由於這個算法我沒有研究過，在這裏就不介紹了。

個人站點：http://songlee24.github.com