《劍指office》數組的逆序列



題目描述

在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007

思路：看到這個題目，我們的第一反應是順序掃描整個數組。沒掃描到一個數組的時候，逐個比較該數字和它後面的數字的大小。如果後面的數字比它小，則這兩個數字就組成了一個逆序對。假設數組中含有n個數字。由於每個數字都要和O(n)這個數字比較，因此這個算法的時間複雜度爲O(n^2)。

我們以數組{7,5,6,4}爲例來分析統計逆序對的過程。每次掃描到一個數字的時候，我們不拿ta和後面的每一個數字作比較，否則時間複雜度就是O(n^2)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

(a)把長度爲4的數組分解成兩個長度爲2的子數組；

 

(b)把長度爲2的數組分解成兩個成都爲1的子數組； 

(c)把長度爲1的子數組合併、排序並統計逆序對  ；  

 

(d)把長度爲2的子數組合並、排序，並統計逆序對； 

 

       在上圖（a）和（b）中，我們先把數組分解成兩個長度爲2的子數組，再把這兩個子數組分別拆成兩個長度爲1的子數組。接下來一邊合併相鄰的子數組，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度爲1的子數組{7}、{5}中7大於5，因此（7,5）組成一個逆序對。同樣在第二對長度爲1的子數組{6}、{4}中也有逆序對（6,4）。由於我們已經統計了這兩對子數組內部的逆序對，因此需要把這兩對子數組排序  如上圖（c）所示，以免在以後的統計過程中再重複統計。   

      接下來我們統計兩個長度爲2的子數組子數組之間的逆序對。合併子數組並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。 

 

      我們先用兩個指針分別指向兩個子數組的末尾，並每次比較兩個指針指向的數字。如果第一個子數組中的數字大於第二個數組中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子數組中剩餘數字的個數，如下圖（a）和（c）所示。如果第一個數組的數字小於或等於第二個數組中的數字，則不構成逆序對，如圖b所示。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從後面往前複製到一個輔助數組中，確保輔助數組（記爲copy）中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到輔助數組之後，把對應的指針向前移動一位，接下來進行下一輪比較。

public class Solution {
    // result用來存儲交換次數，temp爲歸併排序所需的額外空間  
    private static int result;  
    static int[] temp; 

    public int InversePairs(int [] array) {
        // 考慮無效輸入
        if (array == null || array.length <= 0) {
            return 0;
        }
        // 注意：因爲result設置爲成員變量，所以每一次調用該方法都要初始化爲0！
        result = 0;
        temp = new int[array.length];
        mergesort(array, 0, array.length - 1);
        return result;
    }
    
    public static void mergesort(int[] array,int left,int right){
        if(left == right){
            return;
        }
        int mid = (left + right)/2;
        mergesort(array,left,mid);
        mergesort(array,mid+1,right);
        sort(array, left, mid, right);  
    }
    
    public static void sort(int[] array, int left, int middle, int right){
        int i = middle;
        int j = right;
        int index = right;
        //把本次循環用到的數字拷貝進temp
        for (int k = left; k <= right; k++) {
            temp[k] = array[k];
        }
        while (i >= left && j >= middle + 1) {
            if (temp[i] > temp[j]) {
                array[index--] = temp[i--];
                //逆序對數目爲第二個子數組中剩餘的數字
                result += j - middle;
                // 數值過大要進行求餘
                if (result > 1000000007)
                {
                    result %= 1000000007;
                }
            } else
                array[index--] = temp[j--];
        }
        while (i >= left)
            array[index--] = temp[i--];
        while (j >= middle + 1)
            array[index--] = temp[j--];
    }
}