張量的平行因子分解

概念

典範或平行因子分析(canonical or parallel factor analysis,CANDECOMP/PARAFAC)是由Carroll和Chang以及Harshman與1970年分別獨立提出的數據分析方法，現在習慣合稱爲CP分析。CP分析的基礎是多路數據模型的典範或平行因子分解，簡稱CP分解。

雙線性模型

在數據分析中，給定二路數據矩陣$X \in \R^{I \times J}$，二路雙線性分析採用模型

$x_{ij}=\sum_{r=1}^{R}a_{ir}b{jr}+e_{ij}$

擬合二路數據矩陣的各個元素。式中，各參數的含義如下：
$x_{ij}$爲$I \times J$數據矩陣$X$第$i$行、第$j$列的元素；
$R$爲因子的個數；
$a_{ir}$爲“因子載荷”；
$b_{jr}$爲“因子得分”；
$e_{ij}$爲數據$x_{ij}$的觀測誤差，是$I \times J$誤差矩陣$E$第$i$行、第$j$列的元素。
若固定$b_{jr}=\beta_r$爲常數，則$x_{ij}=\sum_{r=1}^R \beta_r a_{ir}$是因子載荷$a_{ir}$的線性模型。反之，若固定$a_{ir}=\alpha_r$爲常數，則$x_{ij}=\sum_{r=1}^R \alpha_r b_{jr}$是因子得分$b_{jr}$的線性模型。因此，二路數據模型常稱爲二路雙線性模型。