張量基礎學習（一 概念，求和指標，符號）

歡迎大家來到我的這一個新專欄，本專欄我們將一起學習並探討一些張量方面的知識，同樣，需要一定的線性代數的基礎知識鋪墊，但肯定是沒有量子計算那麼深入和複雜，有需要的小夥伴可以點點關注，您的鼓勵是我前進的最大動力！

一. 張量基本概念

張量（tensor）理論是數學的一個分支學科，在力學中有重要應用。張量這一術語起源於力學，它最初是用來表示彈性介質中各點應力狀態的，後來張量理論發展成爲力學和物理學的一個有力的數學工具。張量之所以重要，在於它可以滿足一切物理定律必須與座標系的選擇無關的特性。張量概念是矢量概念的推廣，矢量是一階張量。張量是一個可用來表示在一些矢量、標量和其他張量之間的線性關係的多線性函數!

我們在後面的機器學習 ，深度學習，還有最重要的量子計算與量子機器學習中，張量分解與張量分析都發揮着舉足輕重的作用，所以，我們希望能儘量將它學好！

從定義開始，“張量” 在不同的場景下有不同的定義：

1. 張量是某種多維數組，這個非常好理解。
2. 張量是某種幾何對象，不會因座標系的改變而發生改變
3. 張量是向量和餘向量 通過張量積組合而成的！
4. 張量是多重線性映射，即：

我們在量子計算二這一篇博客中就爲大家簡單的介紹過張量的其中一種定義，同時也介紹了張量積的運算法則和一些性質，具體的大家可以去我的量子計算專欄中尋找，在這裏，我們還是從頭開始繼續瞭解一下！

張量是向量和矩陣的自然推廣，向量可稱爲一階張量，矩陣可稱爲二階張量，將矩陣堆疊形成“立方體”，這種數據結構則稱爲三階張量。一張灰度圖像在計算機中由矩陣表示，是二階張量。一張RGB三通道的彩色圖像在計算機中則保存爲三階張量。當然，三階張量也可以堆疊形成更高階的張量。

還有一個視頻可以幫助你更加深入理解！

張量理解

我們用多維數組來進一步理解：

其中，階（order/ways/modes/rank）：就是張成所屬張量空間的向量空間的個數，秩 就可以理解成[ 的個人（深度），例如

二. 愛因斯坦求和約定

這個名字我們有的同學可能第一次聽，但都是我們經常用的，也是非常的簡單！

For example:
$S =a_{1}x_{}+a_{1}x_{}+\cdots+a_{n}x_{n}$
用求和符號來表示就是：
$S=\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{j} x_{j}$

我們約定 ：$S = a_{i}x_{i} = a_{j}x_{j}$，求和指標與所用字母無關，且指標只能重複一次！

多個變量同時出現的話，可以進行雙重求和：
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} A_{i j} x_{i} y_{j}=& A_{11} x_{1} y_{1}+A_{12} x_{1} y_{2}+A_{13} x_{1} y_{3}+\\ & A_{21} x_{2} y_{1}+A_{22} x_{2} y_{2}+A_{23} x_{2} y_{3}+\\ & A_{31} x_{3} y_{1}+A_{32} x_{3} y_{2}+A_{33} x_{3} y_{3} \end{aligned}$

這裏不能看出有就像，再填上一個Z，就會有27項了：$A_{i j k} x_{i} y_{j} z_{k}$

指標（下標）這麼多，我們來給它們分個類，先看個例子：
$\begin{array}{l} A_{11} x_{1}+A_{12} x_{2}+A_{13} x_{3}=b_{1} \\ A_{21} x_{1}+A_{22} x_{2}+A_{23} x_{3}=b_{2} \\ A_{31} x_{1}+A_{32} x_{2}+A_{33} x_{3}=b_{3} \end{array}$

注意事項：

• 在表達式或方程中自由指標可以出現多次，但不得在同項內出現兩次，若在同項 內出現兩次則是啞指標！
• 由於啞標$i$ 僅要求遍歷求和，故可以成對地任意交換，只要其在同項內僅出現2次，且取值範圍和 $i$ 相同即可(這裏是矢量點積)！
  $\boldsymbol{a\cdot b} = a_{j}b_{j}= a_{m}b_{m}$
• 我們通長約定：如果在表明取值範圍，則拉丁指標 $i,j,k$ 等 表示三維指標，取值1，2 ，3；而希臘字母指標 $\alpha ，\beta， \gamma$等均爲 二維指標，取值1，2！
  
• 在後面使用張量的時候，注意 同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指標應防止重名。
• 自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現的同名自由指標全部改成同一個新名字

總結一下：
通過啞指標可把許多項縮寫成一項，通過自由指標又把許多方程縮寫成一個方程。

一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，若有 k 個獨立的自由指標，其取值範圍是1～n，則這個方程代表了$n^{k}$個分量方程。在方程的某項中若同時出現 m 對取值範圍爲1～n 的啞指標，則此項含相互迭加的 $n^{m}$ 個項!

還需要知道一點的就是，指標符號也適用於微分和導數表達式！

這大概就是我們目前需要掌握的愛因斯坦求和約定的相關部分 ！

三. 符號$\delta_{ij}$ 與$e_{rst}$

(1) $\delta_{ij}$ 符號

在笛卡爾座標系中，下圖中三個相互正交的單位基矢量 構成一個正交標準化基
我們先定義$\delta_{ij}$：
$\delta_{ij} = e_{i}\cdot e_{j}=\left\{\begin{array}{l} e_{i} \cdot e_{j}=1(i=j) \\ e_{i} \cdot e_{j}=0(i \neq j) \end{array}\right.$
這個定義是非常好理解的，在線代學習中內積的那一部分和這個相類似，只是但是似乎並沒有介紹這個符號！下面介紹一下它的幾個性質特點：

• 對稱性，有定義可知$\delta_{ij}=\delta_{ji}$ .
• $\delta_{ij}$ 的分量集合對應的矩陣恰好是單位矩陣：
  $\left[\begin{array}{lll} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
• 換標作用：如果符號$\delta_{ij}$ 的兩個指標中，有一個和同項中其它因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成$\delta_{ij}$ 的另一個指標，而$\delta$ 自動消失。
  $\begin{array}{l} \delta_{i j} a_{j k}=a_{i k} ；\delta_{i j} a_{i k}=a_{j k} \\ \delta_{i j} a_{k j}=a_{k i} ；\delta_{i j} a_{k i}=a_{k j} \\ \delta_{i j} \delta_{j k}=\delta_{i k} ； \delta_{i j} \delta_{j k} \delta_{k l}=\delta_{i l} \end{array}$

(2) $e_{rst}$ 符號

$e_{rst}$ 符號爲：排列符號或者是置換符號，Eddington。
在笛卡爾座標系中，我們定義如下：

$e_{r s t}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { 當r, } s, \text { 爲正序排列時 } \\ -1 & 當 r, s, t \text { 爲逆序排列時 } \\ 0 & \text { 當r }, s, t \text { 中兩個指標值相同時 }\end{array}\right.$
由於$r, s, t$ 只能在1，2，3中選取，所以上述公式還可寫成
$e_{rst} = \frac{1}{2}(r-s)(s-t)(t-r)$

第三種取0的情況比較好理解，那麼我們什麼時候取-1，什麼時候取1呢？

(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱爲正序排列。
(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱爲逆序排列

這裏依然有一個視頻，幫助大家理解：

排列符號或置換符號簡單演示

來接着看看這個$e_{rst}$ 符號的一些基本性質:

1. 根據排列組合原理，每個位置有三種可能，所以共有27個元素，其中有三種元素爲1，三種元素爲-1，其餘元素都是0！
2. 反對稱性：對於其中任何兩個指標，有
   $e_{rst}= -e_{str} = -e_{trs} = -e_{tsr}$
3. 當三個指標輪流換位時（相當於指標連續兌換兩次），$e_{rst}$ 的值不變 ： $e_{rst} =e_{str} = e_{trs}$

綜上，矢量的點積可以寫成爲：

好，張量學習的第一部分就到這裏了，下期再見~~