量子計算入門學習筆記 （五 ——張量，量子比特）

大家好，歡迎來到量子計算的第四部分，如果您是第一次觀看我的博客，如果您也是和我一樣剛入門量子力學或是量子計算相關的學習，糾結於量子的抽象與晦澀難懂，那麼本專欄（量子計算）一定是您的不二之選，學海本就苦，願你有甜心，如果覺得博主寫的有錯誤的直接在評論區留言，博主也是大一的一名程序狗，希望大家多多支持，點點贊，另外，本專題是每週一更或二更，有需要的小夥伴可以點點專注！

一 . 張量積相關性質

在上一篇博客中，我們已經爲大家介紹了張量積的定義，運算法則以及一些注意點，這裏我們爲大家詳細的給出一些主要性質，大家可以隨便寫幾個複數矩陣來驗證是否正確：

1. 對任何矢量 $\left|\varphi_{1}\right\rangle,\left|\varphi_{2}\right\rangle \in \boldsymbol{H}_{1},|\psi\rangle \in \boldsymbol{H}_{2}$,有
   $\left(\left|\varphi_{1}\right\rangle+\left|\varphi_{2}\right\rangle\right) \otimes|\psi\rangle=\left|\varphi_{1}\right\rangle \otimes|\psi\rangle+\left|\varphi_{2}\right\rangle \otimes|\psi\rangle$
2. 對任何矢量 $\left|\varphi\right\rangle \in \boldsymbol{H}_{1},|\psi_{1}\rangle,|\psi_{2}\rangle \in \boldsymbol{H}_{2}$,有：
   $|\varphi\rangle \otimes\left(\left|\psi_{1}\right\rangle+\left|\psi_{2}\right\rangle\right)=|\varphi\rangle \otimes\left|\psi_{1}\right\rangle+|\varphi\rangle \otimes\left|\psi_{2}\right\rangle$
3. 對任何矢量 $\left|\varphi_{1}\right\rangle,\left|\varphi_{2}\right\rangle \in \boldsymbol{H}_{1},|\psi_{1}\rangle,|\psi_{2}\rangle \in \boldsymbol{H}_{2}$,有:
   $\left(\left|\varphi_{1} \psi_{1}\right\rangle,\left|\varphi_{2} \psi_{2}\right\rangle\right)=\left(\left|\varphi_{1}\right\rangle,\left|\varphi_{2}\right\rangle\right)\left(\left|\psi_{1}\right\rangle,\left|\psi_{2}\right\rangle\right)=\left\langle\varphi_{1} | \psi_{1}\right\rangle\left\langle\varphi_{2} | \psi_{2}\right\rangle$
4. 對任何矢量 $\left|\varphi_{1}\right\rangle,\left|\varphi_{2}\right\rangle \in \boldsymbol{H}_{1},|\psi_{1}\rangle,|\psi_{2}\rangle \in \boldsymbol{H}_{2}$,有:
   $\left(\left|\varphi_{1}\right\rangle \otimes\left|\psi_{1}\right\rangle\right)\left(\left|\varphi_{2}\right\rangle \otimes\left|\psi_{2}\right\rangle\right)=\left(\left|\varphi_{1}\right\rangle\left|\varphi_{2}\right\rangle\right) \otimes\left(\left|\psi_{1}\right\rangle\left|\psi_{2}\right\rangle\right)$
5. 對任何矢量 $\left|\varphi\right\rangle \in \boldsymbol{H}_{1},|\psi\rangle \in \boldsymbol{H}_{2}$,以及$c \in C$ 有 :
   $c(|\varphi\rangle \otimes|\psi\rangle)=(c|\varphi\rangle) \otimes|\psi\rangle=|\varphi\rangle \otimes(c|\psi\rangle)$

舉兩個實例幫助大家理解:
5. 如果$A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{array}\right) ; I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&1 \end{array}\right)$那麼$A \otimes I=\left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & 0 & a_{12} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 & 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & 0 & 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 & 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 & 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{21} & 0 & 0 & a_{22} \end{array}\right]$

6. 若 $|v\rangle=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right],|w\rangle=\left[\begin{array}{c} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}\right],$ 那麼 $|v\rangle \otimes|w\rangle=\left[\begin{array}{c} v_{1} w_{1} \\ v_{1} w_{2} \\ v_{1} w_{3} \\ v_{2} w_{1} \\ v_{2} w_{2} \\ v_{2} w_{3} \end{array}\right]$
7. 結合上面兩個例子我們看下面這個綜合一點的：
   $(A \otimes I)(|v\rangle \otimes|w\rangle)=\left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & 0 & a_{12} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 & 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & 0 & 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 & 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 & 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{21} & 0 & 0 & a_{22} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} v_{1} w_{1} \\ v_{1} w_{2} \\ v_{1} w_{3} \\ v_{2} w_{1} \\ v_{2} w_{2} \\ v_{2} w_{3} \end{array}\right]=\left(\begin{array}{c} \left(a_{11} v_{1}+a_{12} v_{2}\right) w_{1} \\ \left(a_{11} v_{1}+a_{12} v_{2}\right) w_{2} \\ \left(a_{11} v_{1}+a_{12} v_{2}\right) w_{3} \\ \left(a_{21} v_{1}+a_{22} v_{2}\right) w_{1} \\ \left(a_{21} v_{1}+a_{22} v_{2}\right) w_{2} \\ \left(a_{21} v_{1}+a_{22} v_{2}\right) w_{3} \end{array}\right)=(A|v\rangle) \otimes|w\rangle$

動手算一算其實沒有看上那麼複雜！

二 . 量子比特

1. 介紹(回憶)

在我們本專欄的第一篇博客中就曾淺談過量子比特的一些東西，這裏的深入討論也許會讓你在量子世界中原本就模糊的視線中帶來一絲清晰！

在經典信息的處理過程中，記述其信息的二進制儲存單元稱爲經典比特(bit)，經典比特由電壓的高低 0,1表示，對於量子信息而言，記述量子信息的儲存單元爲量子比特(qubit) ， 其中一個 qubit 的狀態是一個二維複數空間的矢量，它的兩個極化狀態$|0\rangle$ 和$|1\rangle$ 分別對應經典狀態中的 0 和 1！

qubit 的兩個極化狀態$|0\rangle$ 和$|1\rangle$ 是二維複數列向量，他們是一組歸一化正交基底，所以，其模必爲1，二者內積必爲0！

我們前面就說過大部分情況下:
$|0\rangle=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right],|1\rangle=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]$

這沒有特別的規定，也可以這樣：
$|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right],|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ -1 \end{array}\right]$
只要滿足前面的規律都行，當然，我們的選擇需要根據實際情況而定，這是依賴於實際信息的載體採用哪一類微觀粒子（這裏說一下，我們的博客爲了方便 ，在沒有特別說明的情況下，都採用第一種）！

若 $\alpha$ 與 $\beta$ 是一對任意的滿足歸一化的複數，則某量子態$|\varphi \rangle$可以寫成爲：

$|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle=\alpha\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]+\beta\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \alpha \\ \beta \end{array}\right]$
其中，$|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$ 。注意一下，二維復向量$\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right]$，和$\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right]$ 的內積，可以表示爲：$\left[\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2}^{*}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right]=a_{1}^{*} b_{1}+a_{2}^{*} b_{2}$，其中這個“ * ”符號表示的是共軛複數！

2.量子比特的測定

OMG，終於到主題了，前面的介紹一大串都是回憶之前我們學習過的，已經是老生常談了，但是爲了每一位問的觀衆閱讀的連貫性，上面也算是複習了！

對於經典比特來說，我們可以用儀器直接測量在某一時刻它是取0 還是 1！但是在量子中：$|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$,通常狀況下，我們不知道 $\alpha,\beta$ 的具體值，況且我們必須要從量子比特中獲取出與經典比特相類似的信息才能完成測定！

我們通過一個被稱爲是 “測量” 的 過程,我們可以將一個qubit 的狀態以概率幅的形式轉化爲 bit 信息。轉化過程大概如下：

• 概率 爲 $\left|\langle 0 | \varphi\rangle\right|^{2}$ 變化爲： bit 0
• 概率 爲 $\left|\langle 1 | \varphi\rangle\right|^{2}$ 變化爲： bit 1

這裏需要我們先求出量子比特 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 的兩個內積結果：

$\begin{array}{l} \langle 0 | \varphi\rangle=\alpha\langle 0 | 0\rangle+\beta\langle 0 | 1\rangle=\alpha \\ \langle 1 | \varphi\rangle=\alpha\langle 1 | 0\rangle+\beta\langle 1 | 1\rangle=\beta \end{array}$

總結來說就是： $|\varphi\rangle$ 以概率爲 $\left | \alpha \right |^{2}$ 取值 bit 0，以概率爲 $\left | \beta \right |^{2}$ 取值 bit 1，特別的，當 $\alpha=1$ 的時候， $|\varphi\rangle$ 取 0 的概率爲1 ；當 $\beta =1$ 的時候， $|\varphi\rangle$ 取 1 的概率爲1 ；這樣，理論上我們就將qubit 與經典的 bit 對應起來了！

也就是說，量子比特被檢測之前一直處於介於 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 之間的一個連續態。而測量時，僅概率性的給出 0 或 1 作爲測量結果!

當然了，我們目前所描述和計算的是以第一組正交基底爲前提的，基底變了，雖然遠離一樣，但是還是會發生一些細微的變化！

這是以我們前面所說的第二種基底表示的：
$\begin{aligned} |\varphi\rangle &=\frac{\alpha+\beta}{2}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]+\frac{\alpha-\beta}{2}\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right] \\ &=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}|1\rangle \end{aligned}$

這個時候以概率幅轉化的結果有點不一樣：

• 取 bit 0 概率爲：$\frac{|\alpha+\beta|^{2}}{2}$
• 取 bit 1 概率爲：$\frac{|\alpha-\beta|^{2}}{2}$

在這裏要注意，如果即使是一個量子態基底選取不同的話，返回每個bit 值的 概率有可能是不一樣的！

3 . 量子比特的另一種表現形式

除了我們上述介紹的最簡單明瞭的量子比特表示方法，還有一種更加直觀的表示方法，也稱爲 幾何表示 ！
因爲 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，$|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$，所以可以設：
$\alpha=\cos\frac{\theta }{2} e^{i \delta}, \quad \beta=\sin \frac{\theta }{2}e^{i(\delta+\phi)}$
代入你就可以得到：
$|\psi\rangle=\cos \frac{\theta }{2} e^{i \delta}|0\rangle+\sin \frac{\theta }{2} e^{i(\delta+\phi)}|1\rangle=e^{i \delta}\left(\cos \frac{\theta }{2}|0\rangle+\sin \frac{\theta }{2} e^{i \phi}|1\rangle\right)$

這裏的 $\theta,\phi,\delta$都是實數，而 $i$ 是虛數，因爲 $e^{i \delta}$ 稱作共同相位（global phase），因爲對$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 都一樣影響，而在實驗上測量不出來，故可以將之捨棄不看!

所以，可以簡寫爲:
$|\psi\rangle=\cos \frac{\theta }{2}|0\rangle+\sin \frac{\theta }{2} e^{i \phi}|1\rangle$
這裏的$\theta,\phi$ 定義了單位三維球面上的一個點！這個球被稱爲Bloch球，如圖：
和前面那個圖一模一樣！這裏的Bloch球可謂是高深莫測！肯定會有小夥伴會問這爲啥直接那樣設$\alpha,\beta$的值，很抱歉，博主也在探索之中，在後面的博客可能會問大家帶來詳細的數學推導！我們現在介紹的是 純態，在bloch 球的表面，其實這個球內的每一個點還能映射到量子的混合態!除此之外還可以在這個球內完成本徵譜分解 有感興趣的小夥伴可以去學學！

好的，本次博客學習就到這裏了，喜歡的話不要忘記點點關注，謝謝大家！