作者：LogM
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本文爲概率論與數理統計的筆記。
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8. 第八週
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8.1 期望
- 離散型：$E(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} x_k p_k$
- 連續型：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$
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若 $Y = g(X)$，則：
- 離散型：$E(Y) = E(g(X)) = \sum_{k=1}^{+\infty} g(x_k)p_k$
- 連續型：$E(Y) = E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x_k)p_k$
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若 $Z = h(X,Y)$，則
- 二元離散型：$E(Z) = E(h(X,Y)) = \sum_{k=1}^{+\infty} h(x_i,y_j)p(x_i,y_j)$
- 二元連續型：$E(Z) = E(h(X,Y)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} h(x,y)f(x,y)dxdy$
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性質：
- $E(cX) = cE(X)$，$c$ 爲常數
- $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
- $E(XY) = E(X)E(Y)$，當 $X$ 與 $Y$ 相互獨立
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8.2 方差
- 方差：$D(X) = Var(X) = E\{[X-E(X)]^2\}$
- 標準差（均方差）：$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
- 離散型：$D(X) = \sum_{i=1}^{+\infty} [x_i - E(X)]^2 p_i$
- 連續型：$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x-E(x)]^2 f(x)dx$
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性質：
- $D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2$
- $D(cX) = c^2D(X)$，$c$ 爲常數
- $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
- $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$，當 $X$ 與 $Y$ 相互獨立
9. 第九周
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9.1 協方差
- $Cov(X,Y) = E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} = E(XY)-E(X)E(Y)$
- 正相關：$Cov(X,Y)>0$；負相關：$Cov(X,Y)<0$；不相關：$Cov(X,Y)=0$
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性質：
- $Cov(X,X) = D(X)$
- $Cov(aX,bY) = ab \cdot Cov(X,Y)$
- $Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1,Y) + Cov(X_2,Y)$
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9.2 相關係數
- $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} \in [-1,1]$，沒有量綱$
- $X$ 與 $Y$ 獨立，則它們肯定不相關；但不相關不一定是相互獨立
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不相關指的是線性關係上不相關；相互獨立指的是一般關係上的獨立
- 正態分佈是特例，兩個正態分佈的不相關就代表它們相互獨立
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9.3 矩
- $k$ 階原點矩：$E(X^k)$
- $k$ 階中心矩：$E\{[X-E(X)]^k\}$
- $k+l$ 階混合原點矩：$E(X^k Y^l)$
- $k+l$ 階混合中心矩：$E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}$
- 9.4 協方差矩陣
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9.5 $n$元正態隨機變量
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性質：
- 它的每一個分量，每一個子向量都服從正態分佈
- 充要條件：各分量任意線性組合後仍服從正態分佈
- 經過線性變換後依然滿足正態分佈
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10. 第十週
- 10.1 切比雪夫不等式
- 10.2 大數定律
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10.3 中心極限定理
- 由大量的相互獨立的隨機變量綜合而成的分佈近似服從正態分佈
