2.2 事件獨立性

§2 事件獨立性

從本節開始，我們引入一個新的概念：統計獨立性。下面，先從只有兩個事件的獨立性開始，隨後討論更爲一般的場合。

從考慮古典概率的一個例子作爲出發點：

[例] 一口袋中裝有 $a$ 只黑球和 $b$ 只白球，採用有放回地摸球。求:

1. 在已知第一次摸得黑球的條件下，第二次摸出黑球的概率：
2. 第二次摸出黑球的概率。

[解] 以事件 $A$ 表示首次摸得黑球，事件 $B$ 表示第二次摸得黑球，則：
$P(A) = \frac{a}{a+b}$
$P(AB) = \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$
$P(\overline{A}B) = \frac{ba}{(a+b)^{2}}$
因此
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{a}{a+b}$
而
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) = \frac{a^{2}}{a + b} + \frac{ba}{(a + b)^{2}} = \frac{a}{a+b}$
注意：此處的 $P(B|A) = P(B)$，即：事件 $A$ 發生與否對事件 $B$ 發生的概率沒有影響。 在這種情況下，我們可以稱：事件 $A$ 和事件 $B$ 的出現存在某種“獨立性”。

定義2.2.1（統計獨立性）

對事件 $A$ 和事件 $B$，若
$P(AB) = P(A)P(B)$
則稱它們是 統計獨立的，簡稱 獨立的。

注：

1. 按照上述定義可知：必然事件 $\Omega$ 和不可能事件 $\empty$ 與任何事件獨立。
2. 若 $A$ 和 $B$ 的位置對稱，亦稱 $A$ 和 $B$ 相互獨立。

推論2.2.1

若事件 $A，B$ 獨立，且 $P(B)>0$，則：
$P(A|B) = P(A)$
證明

由條件概率定義和 $P(A|B) = P(A)$ 得：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B) = P(A)}$
因此，若事件 $A，B$ 相互獨立，則 $A$ 關於 $B$ 的條件概率和無條件概率 $P(A)$ 相等，這表示： $B$ 的發生對於事件 $A$ 是否發生並不提供任何信息。

推論2.2.2

若事件 $A$ 和 $B$ 獨立，則下列各對事件也相互獨立:
$\{ \overline{A},B\},\{A,\overline{B}\},\{\overline{A},\overline{B}\}$

證明

由於：
$P(\overline{A}B) = P(B-AB) = P(B)-P(AB) =$
$P(B) - P(A)P(B) = P(B)[1-P(A)] = P(\overline{A})P(B)$
故 $\overline{A}$ 和 $B$ 相互獨立，由它立刻推得：$\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 相互獨立；由 $\overline{A}= A$ 又推出 $A,\overline{B}$ 相互獨立。

下面，我們考慮多個事件的獨立性：
先定義三個事件： $A,B,C$ 的獨立性。

定義2.2.2（多個事件的相互獨立）

對於三個事件 $A,B,C$，若下列四個等式同時成立，則稱他們 相互獨立 ：
$\begin{cases}P(AB) = P(A) P(B)\\P(BC) = P(B)P(C)\\P(AC) = P(A)P(C)\end{cases}$
$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

自然，我們不難提出這個問題：三個事件 $A,B,C$ 兩兩獨立，能否保證它們相互獨立？事實上，這個問題的答案是否定的。

現在，我們當然可以定義 $n$ 個事件的獨立性。
定義2.2.3（可列多個事件相互獨立）

對 $n$ 個事件 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$，若對所有可能的組合：$1\leqslant i<j<\cdots\leqslant n$ 成立：
$\begin{cases}P(A_{i}A_{j}) = P(A_{i})P(A_{j})\\P(A_{i}A_{j}A_{k}) = P(A_{i})P(A_{j})P(A_{k})\\\cdots\\P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}) = P(A_{1})P(A_{2})\cdots P(A_{n})\end{cases}$
則稱 $A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$ 相互獨立。

顯然，若 $n$ 個事件相互獨立，則它們中的任意 $m (2\leqslant m<n)$ 個事件也是相互獨立的。此外，對於多個相互獨立的事件也成立類1似上述兩個推論的結果。

最後，稱無窮多個事件是相互獨立的，若其中任意有限多個事件是相互獨立的。

從事件獨立性的定義可以立即看出：如果事件是獨立的，則可以大大簡化許多概率的計算。下面舉兩個例子：

[相互獨立事件中至少發生其一的概率的計算]

若 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是 $n$ 個相互獨立的事件，則由於：
$\overline{A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots\cup A_{n}} = \overline{A}_{1}\overline{A}_{2}\cdots \overline{A}_{n}$
因此
$P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots \cup A_{n}) = 1-P(\overline{A}_{1}\overline{A}_{2}\cdots \overline{A}_{n}) = 1-P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2})\cdots P(\overline{A}_{n})$
該公式比起不獨立的情況要簡便得多。

有了事件獨立性的概念，我們即可以定義試驗的獨立性。

直觀上說，若試驗 $E_{1}$ 和試驗 $E_{2}$ 是獨立的，則他們結果的發生是獨立的。因此，我們需要通過各試驗的事件間的獨立性定義試驗的獨立性。爲了做到這一點，我們首先要構造一個可以描述這些試驗的，公共的樣本空間。

設試驗 $E_{1}$ 的樣本空間爲 $\Omega_{1} = \{\omega^{(1)}\}$，試驗 $E_{2}$ 的樣本空間爲 $\Omega_{2} = \{\omega^{(2)}\}$，$\cdots$，試驗 $E_{n}$ 的樣本空間爲 $\Omega_{n} = \{\omega^{(n)}\}$。爲描述這 $n$ 次試驗，應構造複合試驗 $E$，他表示依次進行試驗 $E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}$，其樣本點爲：
$\omega = (\omega^{(1)},\omega^{(2)},\cdots,\omega^{(n)})$
這個樣本空間爲 $\Omega_{1},\Omega_{2},\cdots,\Omega_{n}$ 的乘積空間，記爲:
$\Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times \cdots \Omega_{n}.$

接下來，我們引入“與第 $k$ 次試驗有關的事件”的概念：這種事件的發生與否僅與第 $k$ 次試驗的結果有關，也就是說，爲了判斷某一樣本點是否屬於這個事件，我們只需要考察它的第 $k$ 個分量。值得指出的是，必然事件 $\Omega$ 和不可能事件 $\empty$ 可認爲與所有的試驗有關。
現在若以 $\mathscr{A}_{k}$ 記與第 $k$ 次試驗有關的事件全體，則可通過下列方式定義試驗的獨立性：

定義2.2.4（試驗的相互獨立性）

若對於任意的：
$A^{(1)} \in \mathscr{A_{1}}, A^{(2)} \in \mathscr{A_{2}},\cdots,A^{(n)} \in \mathscr{A_{n}}$
均成立
$P(A^{(1)}A^{(2)}\cdots A^{(n)}) = P(A^{(1)})P(A^{(2)})\cdots P(A^{(n)})$
則稱試驗 $E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}$ 是 相互獨立的。

注意到：$\Omega \in \mathscr{A}_{i},i = 1,2,\cdots,n$，因此由定義推得：若 $n$ 個實驗相互獨立，則其中的 $m(2\leqslant m<n)$ 個試驗也是相互獨立的。