1.3 古典概型

§3 古典概型

定義1.3.1（古典概型）

滿足下列性質的隨機現象稱爲古典概型：

1. 在試驗中他的全部可能結果個數有限。
2. 每個事件發生的概率相等。

古典概型是有限樣本空間的特例。

選 $\Omega = \{ \omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}\}$ 作爲樣本空間，且此時應該有
$P(\omega_{1}) = P(\omega_{2}) = \dotsb =P(\omega_{n}) = \frac{1}{n}.$

在古典概型中，事件 $A$ 的概率是一個分數，其分母是樣本點的總數 $n$，分子是事件 $A$ 中所包含的樣本點個數 $m$。由於樣本點 $\omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}$ 的出現必然導致 $A$ 的出現，故習慣上常稱其爲 $A$ 的有利場合。因此：
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A的有利場合數目}{樣本點總數}.$

下面介紹基本的組合分析公式。事實上，全部的組合分析公式推導均基於乘法原理和加法原理。
從包含有 $n$ 個不同元素的總體中取出 $r$ 個進行排列，此時既要考慮到所取出的元素，亦要考慮其取出的順序。
這樣的排列可分爲兩類：有放回的選取，和不放回的選取。

定義1.3.2（有重複的排列）

在有放回的選取中：從 $n$ 個不同元素中取出 $r$ 個進行排列，稱這種排列爲有重複的排列，其總數有 $n^{r}$ 種。

定義1.3.3（選排列和全排列）

在不放回選取中，從 $n$ 個不同元素中取出 $r$ 個進行排列，其總數爲
$A^{r}_{n} = n(n-1)(n-2)\dotsb(n-r+1)$
稱其爲選排列。特別地，當 $r = n$ 時，稱爲全排列。

$n$ 個不同元素的全排列數爲：
$P_{n} = n(n-1)\dotsb3\cdot 2 \cdot 1 = n!$

定義1.3.4（組合）

從 $n$ 個不同元素中取出 $r$ 個而不考慮其順序，稱爲組合。其總數爲：
$C^{r}_{n} = \binom{n}{r} = \frac{A^{r}_{n}}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!}$

$\binom{r}{n}$稱爲二項係數，是下列二項展開式的係數：
$(a+b)^{n} = \sum^{n}_{r=0} \binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}.$

若 $r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = n$，將 $n$ 個不同的元素分成 $k$ 個部分，則不同的分法有
$\frac{n!}{r_{1}! r_{2}!\dotsb r_{k}!}$
種，上式中的數稱爲多項係數，因其爲 $(x_{1} + x_{2} + \dotsb + x_{k})^{n}$ 展開式中 $x_{1}^{r_{1}},x_{2}^{r_{2}},\dotsb,x_{k}^{r_{k}}$ 的係數。當 $k$ 爲 $2$ 時即爲二項係數。

若 $n$ 個元素中有 $n_{1}$ 個帶腳標 $“1”$ ,有 $n_{2}$ 個帶足標 $“2”$ ,$\dotsb$,有 $n_{k}$ 個帶腳標 $“k”$，且 $n_{1} + n_{2} + \dotsb + n_{k} = n$，從這 $n$ 個元素中取出 $r$ 個，使得帶有足標 $“i”$ 的元素有 $r_{i}$ 個，而 $r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = r.$ 則不同取法的個數爲：
$\binom{n_{1}}{r_{1}}\binom{n_{2}}{r_{2}}\dotsb \binom{n_{k}}{r_{k}}$

從 $n$ 個不同的元素中有重複地取出 $r$ 個，不計順序，則不同的取法有:
$\binom{n + r - 1}{r}$

關於二項係數的一些公式：

1. 在二項係數的定義式中，若約定 $0！ = 1$，則對 $\forall 0\leq k\leq n$，成立
   $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.$

2. 對正整數 $n$ 和 $k$，若 $n < k$，則
   $\binom{n}{k} = 0.$

將排列公式推廣至 $r$ 爲正整數，而 $n$ 爲任意實數 $x$ 的情形：此時記
$A_{x}^{r} = x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)$
同樣定義
$\binom{x}{r} = \frac{A_{x}^{r}}{r!} = \frac{x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)}{r!}$
並且約定： $\binom{x}{0} = 1.$