兩個高斯分佈相加（卷積）的理論推導

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本文主要推導兩個高斯分佈的相加結果。在知乎上有個問題：正態分佈隨機變量的和還是正態分佈嗎？ _ 也是本文主要解決的問題。

高斯分佈的概率密度函數：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}{e^{-\frac{(x-u)^2}{2\delta^2}}} \tag{1}$

直覺中，兩個高斯（正態）隨機變量的和似乎應該是兩個概率密度函數的和，如下圖所示，其結果就近似爲兩個概率密度的包絡線，這明顯是錯誤的，是用直覺推導數學，大錯特錯。

在解決此問題前，我們需要搞清楚兩個高斯函數的和的物理意義，這裏用經典的投骰子作爲爲例子更好理解。

• 離散卷積：投骰子 - 同時投求兩個骰子所的點數相加得4的概率是多少？
  則其結果爲
  $p_1(1)p_2(3)+p_1(2)p_2(2)+p_1(3)p_2(1)=\frac{1}{12}\tag{2}$

注意這裏的概率爲$P(X+Y=4)$，因此卷積的物理意義不是兩個概率密度相加，而是自變量相加後發生的概率，即若設 $z=x+y$，則有 $z$ 發生的概率爲：
$f(z)=\int^{ +\infty }_{ - \infty }f(x)f(z-x)dx\tag{3}$

當理解到這裏時，我們就可以很容易的計算兩個高斯分佈的加和了。

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兩個高斯分佈相加本質問題可抽象爲：已知兩個獨立高斯分佈 $N_1∼(u_1, \delta_1^2)$, $N_2∼(u_2, \delta_2^2)$，求新的概率分佈 $N =N_1+N_2∼(?,?)$

設 $N_1$ 的概率分佈函數爲 $f_1(x)$， $N_2$ 的概率分佈函數爲 $f_2(y)$, 則此問題變爲求 $f(z=x+y)$的概率密度函數？
$\begin{aligned} f(z)&=\int^{ +\infty }_{ - \infty }f_1(x)f_2(z-x)dx\\\\ &=\int^{ +\infty }_{ - \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_1}{e^{-\frac{(x-u_1)^2}{2\delta_1^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_2}{e^{-\frac{(z-x-u_2)^2}{2\delta_2^2}}}dx \end{aligned}\tag{4}$
仔細一看，這裏的 $f(z)$ 就是在前一節《兩個高斯分佈乘積的理論推導》中推導的結果，這裏先引用前一節的推導結果，公式7 和 公式8：
$\begin{aligned} f_1(x)f_2(x) &=S_g\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi} \delta}{e^{-\frac{(x-u)^2}{2\delta^2}}}\\\\ S_g&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\delta_1^2+\delta_2^2)}}e^{-\frac{(u_1-u_2)^2}{2(\delta_1^2+\delta_2^2)}}\tag{5} \end{aligned}$
將公式5代入公式4，其中 $f_1(x)∼(u_1, \delta_1^2)$ , $f_2(x)∼(z-u_2, \delta_2^2)$ 可得：
$\begin{aligned} f(z)&=\int^{ +\infty }_{ - \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_1}{e^{-\frac{(x-u_1)^2}{2\delta_1^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_2}{e^{-\frac{(x-(z-u_2))^2}{2\delta_2^2}}}dx\\\\ &=\int^{ +\infty }_{ - \infty }S_g\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi} \delta}{e^{-\frac{(x-u)^2}{2\delta^2}}}dx\\\\ &=S_g \end{aligned}\tag{6}$

其中：
$S_g=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\delta_1^2+\delta_2^2)}}exp\bigg(-\frac{(u_1-(z-u_2))^2}{2(\delta_1^2+\delta_2^2)}\bigg)\tag{7}$

則可得：
$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\delta_1^2+\delta_2^2)}}exp\bigg(-\frac{(z-(u_1+u_2))^2}{2(\delta_1^2+\delta_2^2)}\bigg)\tag{8}$
對比高斯分佈函數表達式，可以明顯看出，$f(x+y)∼(u_1+u_2, \delta_1^2+\delta_2^2)$
同理可得：$f(x-y)∼(u_1-u_2, \delta_1^2+\delta_2^2)$

• 這裏利用兩個高斯函數的乘積的推導結果，能很快得出結論。
• 注意：當 $N_2∼(0, \delta_2^2)$ ，換句話說就是當 $f_2(y)$ 爲零均值的高斯白噪聲時，可以得到一個奇特的現象：$f(x+y)=f(x-y)$ ，即在一個獨立分佈上加或減一個白噪聲，其爲同分布。

同時，我們可以繼續推導得：
若兩個獨立高斯分佈 $N_1∼(au_1, (A\delta_1)^2)，N_2∼(bu_2, (B\delta_2)^2)$
則其卷積和爲 $N_1∼(u, \delta^2)$

• $u=au_1+bu_2$
• $\delta^2= A^2\delta_1^2+B^2\delta_2^2$

參考文獻：

https://blog.csdn.net/chaosir1991/article/details/106910668
https://www.zhihu.com/question/26055805
https://blog.csdn.net/erzhonghou0033/article/details/106639102/