1.4 幾何概率

1.4 幾何概率

我們在古典概型中，利用 “等可能性” 的概念可以計算簡單的一類問題的概率。一些“有無限多結果，但又有某種可能性”的情況，可以通過幾何方法來求解。

在這類問題中，試驗的可能結果是某個區域 $\Omega$ 中的一個點。此時，可能的結果是無限的。因此，等可能性是通過下列方式賦予意義的：

落在某區域 $g$ 的概率和區域 $g$ 的測度（長度，面積，體積）等成正比，且與其位置和形狀無關。

因此，若以 $A_{g}$ 記“在區域 $\Omega$ 中隨機地取一點，而該點落在區域 $g$ 中”這一事件，則其概率定義爲;

$P(A_{g}) = \frac{g的測度}{\Omega 的測度}$

幾何概率的定義和計算與幾何圖形的測度密切相關。因此，所考慮的事件應當是某種可定義測度的集合：這類集合的並、交也應該有這個要求。

幾何概率應具有以下性質：

1. 對任何事件 $A$ ， $P(A) \geq 0$;
2. $P(\Omega) = 1$;
3. (可列可加性) 若 $A_{1},A_{2},\dotsb,A_{n}$ 兩兩互斥，則有
   $P(\sum^{\infty}_{n = 1}A_{n}) = \sum^{\infty}_{n = 1}P(A_{n}).$