正整數連接最小算法

題目：

有n個正整數數，將他們按十進制按某種順序組成一個更大的整數，求最小的這個整數。

舉例，有數字32和321，連接成32132後最小。

又舉例，有數字1876,98,21,4,211連接成1876 211 21 4 98是最小的。

解決思路：

1.用揹包動態規劃的思想很容易。因爲ABCD最小的必要條件ABC最小，時間複雜度是0(n*n*k)

2.第二種解決方法要先做一個數學證明。

首先，規定一種比較規則：a->b表示ab<ba成立，記作規則一。

其次：需要證明一個定律。

定律一：n個正整數的最小組合

X1X2X3....Xn中，Xi->Xj（其中i<j)一定成立。

證明這個定律我們可以用反證法。

假設最小的組合中存在Xj->Xi（其中i<j)，即XiXj>XjXi那麼要證明假設不成立我們只需要證明Xi...Xj不是最小的即可。

可以分兩種情況：

第一種：j=i+1。很顯然，XjXi比XiXj更小，這種情況假設不成立。

第二種：j>i+1。即Xi Xi+1...Xj-1 Xj。爲了方便，我們把中間的記作y，把Xi記作a，把Xj記作b。也就是所，我們必須證明ayb不是最小的。

假如ayb是最小的，那肯定存在ay<ya和yb<by。設a的位數是m，y的位數是n，b的位數是k。那麼

1.ay<ya   ==>   a*10^n+y<y*10^m+a   ==>   a*(10^n-1)/(10^m-1) < y 

2.yb<by   ==>   y*10^k+b<b*10^n+y     ==>   y<b*(10^n-1)/(10^k-1)

3.綜合1和2可以得出a*(10^k-1)<b*(10^m-1)  ==>  a*10^k+b < b*10^m+a  ==> ab < ba

即XiXj<XjXi，很顯然與條件矛盾，所以假設不成立。

綜上所述，假設不成立，原命題成真。

有了定律一，其實我們還可以得到另一個定律。

定律二：當ab<ba且bc<cb時，ac<ca一定成立。

這裏，我們有三個正整數，a,b,c。其中a->b且b->c。

因爲我們可以得到個最小的組合。

x1x2x3，且x1->x2，x2->x3且x1->x3。加入b是x1，那麼a就沒得選了，如果b是x3，那麼c就沒得選了。所以b肯定是x2，同理,a必須是x1，c必須是x3。即如下：

abc

故a->c成立。即命題成立。

至此，我們有了一下結論：

給定的n個正整數，我們可以通過規則一將其排序，排序後將它們連起來就是最小組合了。時間複雜度0(k*n*logn)

這裏，我爲什麼要囉嗦地強調定律二呢？因爲沒有定律二，我們就沒辦法按照規則一進行排序。

這裏有一片文章講述了定律一的證明，這裏採用的就是這篇文章的方法。

http://blog.csdn.net/cxllyg/article/details/7659525

這篇文章的問題就是開篇就講按照規則一排序，這是有一個問題，那就是在不知道定律二之前，根本就不知道規則一能不能排序！

另外有一篇文章有提到定律二，但說得太草率了。

http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4248537

如果A+B>=B+A,B+C>=C+B,則一定有：A+C>=C+A

誰能告訴我這個定律是怎麼證明的嗎？事實上，我花了很久的時間都沒法直接證明這個定律！

當然，感謝上面兩位大牛，在他們的基礎上，我纔算完美地解決了這個問題。

C++代碼：

//
//  MinConnect.h
//  test
//
//  Created by JiangHuifu on 14-6-1.
//  Copyright (c) 2014年 veger. All rights reserved.
//

#ifndef __test__MinConnect__
#define __test__MinConnect__

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;


class CMinConnect {
    vector<char*> datas;//所有的整數以字符串的方式存儲
private:
    void getData();//獲取數據，並將數字以十進制字符串的方式存儲起來
    void sort();//排序
    string getResult();//獲得結果
public:
    virtual ~CMinConnect();
    void play();//運行算法
    static bool cmp( char* &a, char* &b);//比較函數，如果ab<=ba則返回true，否則返回false
};

#endif /* defined(__test__MinConnect__) */

//
//  MinConnect.cpp
//  test
//
//  Created by JiangHuifu on 14-6-1.
//  Copyright (c) 2014年 veger. All rights reserved.
//

#include "MinConnect.h"
#include <sstream>
static inline unsigned int log10(unsigned int t){
    int i = 1;
    do{
        t/=10;
        i*=10;
    }while (t>0);
    return i/10;
}
void CMinConnect::play(){
    getData();//獲取數據，並將數字以十進制字符串的方式存儲起來
    sort();//排序
    cout<<getResult();//輸出結果
}
void CMinConnect::getData(){
    unsigned int k;
    unsigned int n = 1000;
    for (unsigned int i  = 0; i<n; i++) {
        k = abs(rand()%1000000+1);
        cout<<k<<endl;
        char* p = (char*)malloc(sizeof(char)*(1+log10(k)*10));
        if (p==NULL) {
            throw -1;
        }else{
            sprintf(p, "%d",k);
        }
        datas.push_back(p);
    }
}
void CMinConnect::sort(){
    std::__1::sort(datas.begin(), datas.end(), CMinConnect::cmp);
}
bool CMinConnect::cmp(char* &a, char* &b){//比較ab和ba大小的函數
    if (a==NULL || b==NULL) {//有必要，防止出錯
        return true;
    }
    char *p1=a,*p2=b;
    int flag = 3;
    while (flag > 0) {
        while (('\0' != *p1)&&('\0' != *p2)) {
            if (*p1 > *p2) {
                return false;
            }else if(*p1 < *p2){
                return true;
            }
            ++p1;
            ++p2;
        }
        if (NULL == p1 && NULL == p2) {
            flag -= 2;
        }else{
            flag -= 1;
            if (NULL == p1) {
                p1 = b;
            }
            if (NULL == p2) {
                p2 = a;
            }
        }
    }
    return true;
}
string CMinConnect::getResult(){
    ostringstream s;
    s<<"result is:";
    for (vector<char*>::iterator i = datas.begin(); i!=datas.end(); ++i) {
        s<<" "<<*i;
    }
    s<<endl;
    
    return s.str();
}
CMinConnect::~CMinConnect(){
    for (vector<char*>::iterator i = datas.begin(); i!=datas.end(); ++i) {
        free(*i);
        *i = NULL;
    }
    datas.clear();
}