逆序對

（原題見算法導論思考題2-4）
題目：
假設A[1…n]是一個有n個不同數的數組。若i>j且A[i]<A[j]，則對偶（i，j）稱爲A的一個逆序對（inversion）。
a.插入排序的運行時間與輸入數組中逆序對的數量有什麼關係。
b.給出一個確定在n個元素任意排列中逆序對數量的算法，最壞情況需要Θ(nlgn) 時間。
解答：
a.插入排序的每次交換位置涉及一對逆序對，總共交換的次數就是逆序對的數量。即運行時間爲：O(n+d) ，n爲數組大小，d爲逆序對數目，一個n個元素的數組中逆序對數目最多爲n(n−1)2 個。
b.通過修改歸併排序，可以得到其中逆序對的數量。歸併排序僅在merge過程中更改了元素的順序，merge過程對L和R兩個數組進行歸併操作，設x爲當前L中的首元素，y爲當前R中的首元素，若x>y，則說明y和L中剩餘的每個元素都構成了一對逆序對，記錄下每次歸併過程中所有的逆序對數目即可得到總的逆序對數目。代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void printArray(int *array, int head, int tail) {
    static int count = 0;
    printf("%d::", count);
    count++;
    for (int i = head; i <= tail; i++)
        printf("%d ", array[i]);
    printf("\n");
}
int merge_count(int *array, int head, int mid, int tail) {
    int count = 0;
    int *temp = (int*)calloc(tail - head + 1, sizeof(int));
    if (temp == NULL) {
        printf("error!\n");
        return -1;
    }
    int i = head, k = mid + 1;
    int j = 0;
    while (i <= mid && k <= tail) {
        if (array[i] <= array[k]) {
            temp[j] = array[i];
            ++j;
            ++i;
        } else if (array[i] > array[k]) {
            count += mid - i + 1;
            temp[j] = array[k];
            ++j;
            ++k;
        }
    }
    //注意該次調用剩餘部分不會再統計逆序對個數，不然會重複統計
    while (i <= mid) {
        temp[j] = array[i];
        ++j;
        ++i;
    }
    while (k <= tail) {
        temp[j] = array[k];
        ++j;
        ++k;
    }
    for (int i = 0; i < j; ++i)
    {
        array[i + head] = temp[i];
    }
    printArray(array, head, tail);
    return count;
}

int merge_sort_count(int *array, int head, int tail) {
    if (head >= tail) return 0;
    int mid = (head + tail) / 2;
    int inversions = 0;
    inversions += merge_sort_count(array, head, mid);
    inversions += merge_sort_count(array, mid + 1, tail);
    inversions += merge_count(array, head, mid, tail);
    return inversions;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int array[5] = {1, 7, 4, 5, 2};
    printf("%d\n", merge_sort_count(array, 0, 4));
    return 0;
}

（原題見算法導論第三版5.2-5）
題目：
設A[1..n]是由n個不同數構成的數列，假設A的元素構成<1, 2, 3, .., n>上的一個均勻隨機排列，請計算其中逆序對的數目期望。
解答：
設Xij 爲位置i和位置j上存在一個逆序對的隨機變量，當位置i和位置j上存在逆序對時Xij 值爲1。位置i和位置j上存在逆序對的概率爲1/2。因此，有：
E(Xij )=1/2
記X爲存在的逆序對的總個數，則有：
E(X)=∑n−1i=1∑nj=i+1E(Xij)=n(n−1)4