01揹包問題
問題描述:有n個重量和價值分別爲Wi,Vi的物品,從這些物品中挑選出總重量不超過W的物品,求怎麼挑選才能使價值最大;
首先可以使用搜索來看看,吧每件物品放入揹包試試,找出最優解。
// 01揹包問題
// 問題描述:
// 有一個揹包可以存放W重量的物品,有n樣物品,價值分別爲v1,v2,v3,……vn,
// 重量分別爲w1,w2,w3,……wn,求怎麼放才能讓價值最大
// 首先不使用動態搜索,只使用深度搜索來解決問題。
// 搜索的方法是
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N = 1005;
int W; // 揹包最大重量
int N; // 物品數量
struct Res // 定義物品
{
int weight;
int value;
}res[MAX_N];
int dfs(int i, int j); // i代表搜索第幾個物品, j代表還可以放入多少重量的物品
int main()
{
cout <<"請輸入揹包的最大存放重量";
cin >> W;
cout << "請輸入物品的數量:";
cin >> N;
cout << "請輸入每件物品的重量和價值:\n";
for(int i = 0; i < N; i++)
cin >> res[i].weight >> res[i].value;
int ans = dfs(0, W);
cout << ans << endl;
return 0;
}
int dfs(int i, int j)
{
int ans;
if(i == N) // 如果搜索到最後一個
ans = 0;
else if(j < res[i].weight) // 如果當前的物品不能放入揹包
ans = dfs(i + 1, j);
else // 比較挑選和不挑選的情況都嘗試一下返回最優解
ans = max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j - res[i].weight) + res[i].value);
return ans;
}
每一次搜索都是要兩次分支,所以如果物品一多就會運行效率特別慢。
運行截圖:
可以看到如果只用搜索的話會有重複的調用。所以我可以吧第一次的計算記錄下來
所以我們只要把第一次計算的結果保留到一個數組中記錄下來,如果再次遇到重複的計算直接使用這個計算結果即可
// 使用二維數組記錄結果,避免了搜索中的重複調用,優化搜索過程,稱爲記憶化搜索
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 1005;
struct RES
{
int weight;
int value;
}res[MAX_N];
int W, N;
int DP[MAX_N][MAX_N];
int dfs(int i, int j);
int main()
{
cout <<"請輸入揹包的最大存放重量";
cin >> W;
cout << "請輸入物品的數量:";
cin >> N;
cout << "請輸入每件物品的重量和價值:\n";
for(int i = 0; i < N; i++)
cin >> res[i].weight >> res[i].value;
memset(DP, -1, sizeof(DP));
int ans = dfs(0, W);
cout << ans << endl;
return 0;
}
int dfs(int i, int j)
{
if(DP[i][j] >= 0)
return DP[i][j];
int reslut;
if(i == j)
reslut = 0;
else if(j < res[i].weight)
reslut = dfs(i + 1, j);
else
reslut = max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j - res[i].weight) + res[i].value);
return DP[i][j] = reslut;
}
這樣略微改進就可以優化整個程序,是可接問題的規模大幅度提高
然後要上一個真正的動態規劃啦,其實根據上面的記憶化搜索就可以推出狀態轉移方程了:
DP = DP[i + 1][j]; (j < res[i].weight)
DP = max(DP[i + 1][ j], DP[i + 1][ j - res[i].weight] + res[i].value)
根據整個狀態轉移方程就可以寫出程序了
代碼如下:
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 1005;
struct RES
{
int weight;
int value;
}res[MAX_N];
int W, N;
int DP[MAX_N][MAX_N];
int main()
{
cout <<"請輸入揹包的最大存放重量";
cin >> W;
cout << "請輸入物品的數量:";
cin >> N;
cout << "請輸入每件物品的重量和價值:\n";
for(int i = 0; i < N; i++)
cin >> res[i].weight >> res[i].value;
memset(DP, 0, sizeof(DP));
for(int i = N - 1; i >= 0; i--)
for(int j = 0; j <= W; j++)
if(j < res[i].weight)
DP[i][j] = DP[i + 1][j];
else
DP[i][j] = max(DP[i + 1][j], DP[i + 1][j -res[i].weight] + res[i].value);
cout << DP[0][W];
return 0;
}