RQNOJ 329 二維揹包 順便收集整理一下相關資料

今天做這題，wa了很多次。原來是01揹包沒學好。

以下是優化空間複雜度後的程序

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=200; struct let{ int val; int time; int h; int w; }; bool operator <(const struct let a,const struct let b) { return a.val<b.val; } let a[maxn]; //int best[maxn][maxn][maxn]; int best[maxn][maxn]; int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); int n,m,t; cin>>n>>m>>t; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i].val>>a[i].time>>a[i].h>>a[i].w; } sort(a+1,a+n+1); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=m;j>=a[i].h+1;j--) for(int k=t;k>=a[i].time;k--) if(best[j][k]<best[j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w) best[j][k]=best[j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w; } cout<<best[m][t]<<endl; return 0; }

以下是最直觀的01揹包

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=200; struct let{ int val; int time; int h; int w; }; bool operator <(const struct let a,const struct let b) { return a.val<b.val; } let a[maxn]; int best[maxn][maxn][maxn]; //int best[maxn][maxn]; int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); int n,m,t; cin>>n>>m>>t; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i].val>>a[i].time>>a[i].h>>a[i].w; } sort(a+1,a+n+1); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=m;j++) for(int k=0;k<=t;k++) { best[i][j][k]=best[i-1][j][k]; if( k>=a[i].time && j>=a[i].h+1) { if(best[i][j][k]<best[i-1][j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w) best[i][j][k]=best[i-1][j-a[i].h][k-a[i].time]+a[i].w; } } } cout<<best[n][m][t]<<endl; return 0; }

 

一般情況

 procedure Make;
　　begin
　　for i:=0 to w do
　　f[0,i]:=0;
　　for i:=1 to m do
　　for j:=0 to w do begin
　　f[i,j]:=f[i-1,j];                                                  //這語句很重要！！ 
　　if (j>=w) and (f[i-1,j-w]+v>f[i,j]) then
　　f[i,j]:=f[i-1,j-w]+v;
　　end;
　　writeln(f[m,wt]);
　　end;

 

優化空間複雜度
　　以上方法的時間和空間複雜度均爲O(N*V)，其中時間複雜度基本已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到O(V)。
　　先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組f[0..V]的所有值。那麼，如果只用一個數組f[0..V]，能不能保證第i次循環結束後f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[v]呢？f[v]是由f[v]和f[v-c]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[v]時（也即在第i次主循環中推f[v]時）能夠得到f[v]和f[v-c]的值呢？事實上，這要求在每次主循環中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c]保存的是狀態f[v-c]的值。僞代碼如下：
　　for i=1..N
　　for v=V..0
　　f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};

 

 初始化的細節問題
　　我們看到的求最優解的揹包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿揹包”時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。
　　如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]爲0其它f[1..V]均設爲-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿揹包的最優解。
　　如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是隻希望價格儘量大，初始化時應該將f[0..V]全部設爲0。
　　爲什麼呢？可以這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量爲0的揹包可能被價值爲0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有一個合法解“什麼都不裝”，這個解的價值爲0，所以初始時狀態的值也就全部爲0了。
　　這個小技巧完全可以推廣到其它類型的揹包問題，後面也就不再對進行狀態轉移之前的初始化進行講解。

 

完全揹包問題

最優解法—O(VN)
　　for i=1..N
　　for j=0..V
　　f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
這個僞代碼與01揹包的僞代碼只有v的循環次序不同而已。

 

部分內容摘自百度百科