歐幾里得&擴展歐幾里得算法及相關的數學證明

//歐幾里得算法求最大公約數
int gcd(int m,int n)
{
         int u0=m,u1=n,t;
         if( u0<u1 )// 保證u0>=u1
                u0^=u1,u1^=u0,u0^=u1;
         while(u0%u1)
        {
                t=u1;
                u1=u0%u1;
                u0=t;
        }
         return u1;
}
//遞歸版本
int gcd(int m, int n)
{
         return n==0?m:gcd(n,m%n);
}
//擴展歐幾里得算法求ax+by==gcd(a,b)的解，其中g是最大公約數，此算法根據結論gcd(a,b)是a和b的最小的正線性組合得出（特殊情況，當gcd(a,b)爲1時候，解x爲a的逆元）
void gcdex(int m,int n, int& g,int & x,int& y)
{
         if(n==0)        
        {
                 //gcd(m,0)=1*m-0*0=m
                g=m; x=1; y=0;
        }
         else            
        {
                gcdex(n,m%n,g,y,x);     
                y-=x*(m/n);
        }
}
//求最小公倍數
//求n個數最小公倍數，(除去所有的公約數，就成了最小公倍)
int lcm(int val[],int n)
{
     int res=1;
     for (int i = 0;i < n;i ++)
                 for (int j = i + 1;j <= n;j++)
                         if (val[j] % val[i] == 0)
                                val[j] /= val[i];
     for(int j=0; j<n; j++)
               res*=val[j];
       return res;
}

//以下介紹來自網絡

RSA算法中利用歐幾里得算法求d詳細過程

RSA是第一個也是使用的最廣泛的公鑰加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人發明，並以他們的名字命名。RSA算法的安全性基於大數因子分解的困難性，下面介紹一下它的基本原理：

1、生成公鑰和私鑰

（1）選取兩個大素數：p和q；
（2）計算n=p*q；
（3）計算小於n並且與n互質的整數的個數，即歐拉函數Ø（n）=（p-1）*（q-1）；
（4）隨機選擇加密密鑰e，使1<e<Ø（n），且與Ø（n）互質；
（5）最後，利用Euclid（歐幾里得）算法計算解密密鑰d，使其滿足ed=1（mod Ø（n））。

然後將（e，n）公開，即爲公鑰PK，私人保存好d，即爲私鑰SK；

2、加密

將明文m分解成等長數據塊m₁，m₂，……，m_i。加密時，按如下公式進行計算即可：

c_i=（m_i）^e（mod n），密文c則由c₁，c₂，……c_i組成。

3、解密

與加密一樣，按如下公式進行計算：

m_i=（c_i）^d（mod n），明文m則由m₁，m₂，……，m_i組成。

以上就是RSA算法的公私鑰產生、加密和解密的過程。整個過程中，最難理解的部分應是1.5中的求私鑰d，很多課本提到的都是用歐幾里得算法，但並未給出具體的計算過程，下面本人就通過一個實例向大家介紹歐幾里得算法在RSA中的應用。

例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公鑰和私鑰。

計算如下：

（1）n=pq=47*71=3337；
（2）Ø（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；
（3）隨機選取e=79（滿足與3220互質的條件）；
（4）則私鑰d應該滿足：79*d mod 3220 = 1；

那麼這個式子（4）如何解呢？這裏就要用到歐幾里得算法（又稱輾轉相除法），解法如下：

（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k爲正整數）；
（b）將3220對79取模得到的餘數60代替3220，則變爲79*d-60*k=1；
（c）同理，將79對60取模得到的餘數19代替79，則變爲19*d-60*k=1；
（d）同理，將60對19取模得到的餘數3代替60，則變爲19*d-3*k=1；
（e）同理，將19對3取模得到的餘數1代替19，則變爲d-3*k=1；

當d的係數最後化爲1時，

令k=0，代入（e）式中，得d=1；
將d=1代入（d）式，得k=6；
將k=6代入（c）式，得d=19；
將d=19代入（b）式，得k=25；
將k=25代入（a）式，得d=1019，這個值即我們要求的私鑰d的最終值。

此時，我們即可得到公鑰PK=（e，n）={79，3337}，私鑰SK={1019，3337}，後面的加密和解密直接套相應公式即可。

#include <iostream>

//擴展歐幾里得算法的特殊情況,求乘法逆元
unsigned inverse(unsigned prime, unsigned mod)
{
     unsigned res;//記錄計算結果
     if (prime == 1)
          return prime;
     else if (prime == 0)
          return 0;
     else
     {
          res = ( mod>prime ? inverse( prime, mod%prime):inverse(prime%mod, mod) );
          return ( mod>prime ? ( (mod*res+1)/prime ) : ( (prime*res-1)/mod) );
     }
}

int main()
{
     printf("%d",inverse(79,3220) );
     getchar();
     return 0;
}

//附上網絡搜來的擴展歐幾里得算法的證明

什麼是GCD？
GCD是最大公約數的簡稱（當然理解爲我們偉大的黨也未嘗不可）。在開頭，我們先下幾個定義：
①a|b表示a能整除b（a是b的約數）
②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相當於a div b）
③gcd(a,b)表示a和b的最大公約數
④a和b的線性組合表示ax+by（x,y爲整數）。我們有：若d|a且d|b，則d|ax+by（這很重要！）

由這條定理易推知：若d|a且d|b，則d|gcd(a,b)

Euclid算法
現在的問題是如何快速的求gcd(a,b)。窮舉明顯不是一個好方法（O(n)），所以需要一個更好的方法。
首先我們先提出一個定理：gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)（x爲正整數）。

證明：
設gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,則
∵d|a,d|b
∴d|a-bx
∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e
∵e|b,e|a-bx
∴e|bx+(a-bx)，即e|a
∴e|gcd(a,b)，即e|d
∴d=e。證畢。

這個定理非常有用，因爲它能快速地降低數據規模。
當x=1時，gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。這就是輾轉相減法。
當x達到最大時，即x=[a/b]時，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。這個就是Euclid算法。它是不是Euclid提出的我不知道，但聽說是在Euclid時代形成的，所以就叫Euclid算法了。程序非常的簡單：

functionEuclid(a,b:longint):longint;
begin
if b=0 then exit(a)
else exit(Euclid(b,a mod b));
end;

Euclid算法比輾轉相減法好，不僅好在速度快，而且用起來也方便。兩種算法都有一個隱含的限制：a>=b。用輾轉相減法時，必須先判斷大小，而Euclid算法不然。若a<b，則一次遞歸就會轉爲gcd(b,a)，接着就能正常運行了。

擴展Euclid
前面我們說過，gcd(a,b)可以表示爲a和b的最小的正線性組合。現在我們就要求這個最小的正線性組合ax+by中的x和y。這個可以利用我們的Euclid算法。
從最簡單的情況開始。當b=0時，我們取x=1,y=0。當b≠0時呢？
假設gcd(a,b)=d，則gcd(b,a mod b)=d。若我們已經求出了gcd(b,a mod b)的線性組合表示bx'+(a mod b)y'，則
gcd(a,b)=d
        =bx'+(a mod b)y'
        =bx'+(a-[a/b]b)y'
        =ay'+b(x'-[a/b]y')
那麼，x=y'，y=x'-[a/b]y'。這樣就可以在Euclid的遞歸過程中求出x和y。

程序：
function gcd(a,b:longint):longint;
var p,n,m:longint;
begin
if b=0 then
   begin
    x:=1;
    y:=0;
    exit(a);
   end
else
   begin
    p:=gcd(b,a mod b);
    n:=x;
    m:=y;
    x:=m;
    y:=n-a div b*m;
    exit(p);
   end;
end;

我們現在還有一個問題：x,y是不是確定的？答案：不是。如果x,y符合要求，那麼x+bk,y-ak也符合要求。不確定的原因在於這一句：“當b=0時，我們取x=1,y=0。”實際上y可以取任何正整數。

不定方程ax+by=c
現在終於到了本文重點：解二元一次不定方程。看起來擴展Euclid算法是不定方程的一種特殊情況，實際上呢，不定方程卻是用Euclid算法解的。
對於不定方程ax+by=c，設gcd(a,b)=d，如果ax+by=c有解，則d|c（這也是許多奧數題的切入點）。所以一旦d不是c的約數，那麼 ax+by=c一定無解。當d|c時，先求出ax'+by'=d=gcd(a,b)的x'和y'，則x=x'*c/d，y=y'*c/d。由上一段可知，只要ax+by=c有一個解，它就有無數個解。
Euclid算法還可以求解同餘方程ax≡b(mod m)。這其實和不定方程ax+my=b沒有區別。（不定方程和同餘方程一般都有範圍限制，這其實也很容易解決，就不說了）