拉格朗日方程的三種推導方法之基於達朗貝爾原理推導

拉格朗日方程是分析力學中的重要方程，其地位相當於牛頓第二定律之於牛頓力學。

達朗貝爾原理由法國物理學家與數學家讓•達朗貝爾發現並以其命名。達朗貝爾原理表明：對於任意物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合爲零。即：
$\delta W=\sum\limits_{i}{\left( {{\mathbf{F}}_{i}}+{{\mathbf{I}}_{i}} \right)}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=0\tag{1}$
其中${{\mathbf{I}}_{i}}$爲慣性力，${{\mathbf{I}}_{i}}=-{{m}_{i}}{{\mathbf{a}}_{i}}$。${{\mathbf{F}}_{i}}$爲粒子所受外力，$\delta {{\mathbf{r}}_{i}}$爲符合系統約束的虛位移。
設粒子 ${{P}_{i}}$的位置 ${{\mathbf{r}}_{i}}$爲廣義座標${{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}}$與時間$t$的函數：
${{\mathbf{r}}_{i}}={{P}_{i}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},t \right)\tag{2}$
則虛位移可以表示爲：
$\delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{j}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}\tag{3}$
粒子的速度${{\mathbf{v}}_{i}}={{\mathbf{v}}_{i}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},{{{\dot{q}}}_{1}},{{{\dot{q}}}_{2}},\cdots ,{{{\dot{q}}}_{n}},t \right)$ 可表示爲：
${{\mathbf{v}}_{i}}=\frac{d{{\mathbf{r}}_{i}}}{dt}=\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial t}+\sum\limits_{j}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot{q}}_{j}}\tag{4}$
取速度對於廣義速度的偏微分：
$\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}=\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{5}$
首先轉化方程(1)的加速度項。將方程(3)代入：
$\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\tag{6}$
應用乘積法則：
$\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{i,j}{\left( \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)-{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right) \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{7}$
注意到$\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}$ 的參數爲 ${{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},t$，而速度 ${{\mathbf{v}}_{i}}$ 的參數爲${{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},{{\dot{q}}_{1}},{{\dot{q}}_{2}},\cdots ,{{\dot{q}}_{n}},t$ ，所以，
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\left( \frac{\partial }{\partial t}+\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}} \right)\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}{{\dot{q}}_{k}}\tag{8}$
$\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}{{\dot{q}}_{k}}\tag{9}$
因此，以下關係式成立：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{10}$
將方程(5)與(10)代入，加速度項成爲:
$\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{i,j}{\left( \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{11}$
代入動能表達式：
$T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}}{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot {{\mathbf{v}}_{i}}\tag{12}$
則加速度項與動能的關係爲:
$\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{\left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}} \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{13}$
然後轉換方程(1)的外力項代入方程(3)得：
$\sum\limits_{i}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{i,j}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{{\mathcal{F}}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\tag{14}$
其中$\mathcal{F}$是廣義力：
${{\mathcal{F}}_{j}}=\sum\limits_{i}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{15}$
將方程(13)與(14)代入方程(1)可得：
$\sum\limits_{j}{\left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}}-{{\mathcal{F}}_{j}} \right)}\delta {{q}_{j}}=0\tag{16}$
假設所有的廣義座標都相互獨立，則所有的廣義座標的虛位移也都相互獨立。由於這些虛位移都是任意設定的，只有滿足下述方程，才能使方程(16)成立：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}}-{{\mathcal{F}}_{j}}=0\tag{17}$
這系統的廣義力與廣義位勢 $V$之間的關係式爲:
${{\mathcal{F}}_{j}}=\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial V}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}\tag{18}$
代入得：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial (T-V)}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial (T-V)}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{19}$
定義拉格朗日量 $L$爲動能與勢能之差，可得拉格朗日方程：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{20}$