內置式永磁同步電機PMSM的矢量控制

永磁同步電機控制系統是多變量、強耦合的時變非線性系統，要進行高性能控制，獲得良好的動態穩態特性，常用的方法是矢量控制。

永磁同步電機矢量控制是通過座標變換的方式將三相電流解耦，以控制其中一項來達到控制電機轉矩的目的，解耦後的電機特性與直流電機相似，所以控制實現容易。目前常用的方法包括：

• ${{i}_{d}}\text{=}0$控制
• 功率因數$\cos \varphi =1$控制
• 恆磁鏈控制
• 弱磁控制
• 最大轉矩電流比控制(MTPA)
• 最大輸出功率控制

其中${{i}_{d}}\text{=}0$控制算法最爲簡單，實現最容易。對於表帖式永磁同步電機（隱極式），最大轉矩/電流軌跡就是q軸，因此，對於隱極式PMSM來說，最大轉矩.電流控制就是${{i}_{d}}=0$控制。對於凸極式PMSM，採用MTPA和弱磁控制相結合的控制方式。

根據機電能量轉換原理，可以得到內置式永磁同步電機的電磁轉矩方程爲：
${{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}\left[ {{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}} \right]\tag{1}$

1、${i}_{d}={0}$控制原理

從式（1）所示的電磁轉矩方程可以看出：

如果${i}_{d}={0}$，因轉子磁鏈 ${{\psi }_{f}}$、電機極對數 ${{p}_{n}}$均爲恆量，則電磁轉矩 ${{T}_{e}}$與q軸電流${{i}_{q}}$成正比例，所以需得到兩相旋轉座標系下的電流矢量，將${{i}_{d}}$和${{i}_{q}}$進行解耦，其中${{i}_{d}}$爲勵磁分量，${{i}_{q}}$爲轉矩分量，從而實現磁場和轉矩的解耦控制。

將 ${{i}_{d}}=0$代入電磁轉矩方程中可得驅動電機的輸出轉矩爲：
${{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}{{\psi }_{f}}\tag{2}$

${{i}_{d}}\text{=}0$控制原理圖如圖1所示，主要包括轉速環PI控制、電流環PI控制、SVPWM控制、座標變換及PMSM五部分。其中：

• 轉速環PI控制的目的是爲了控制電機轉速，使得電機實際轉速能夠快速跟隨需求轉速，爲外環部分，要滿足快速調速且穩速的要求。
• 電流環PI控制的目的是控制電機的電流，使得電機端三相電流經由座標變換得到的兩相旋轉座標系電流能跟隨轉速環輸出的需求電流，其中d軸需求分量爲${{i}_{dref}}\text{=}0$，q軸需求分量爲轉速環PI控制得到的值，爲內環部分，需滿足快速響應且電流波動小的要求。

電流環PI控制輸出得到的兩相旋轉座標系需求電壓由反Park變換得到兩相靜止座標系下的需求電流分量，由SVPWM模塊調製得到控制波形，控制逆變器的6個開關器件，使得直流電源信號逆變成三相交流電壓控制電機，通過電流傳感器、轉速傳感器和位置傳感器得到電機的實時運行數據，並進行反饋控制，完成整個矢量控制過程。

圖1 永磁同步電機矢量控制框圖

2、空間矢量脈寬調製技術(Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM)

SVPWM採用的是通過逆變器空間電壓(電流)矢量切換來控制逆變器的新穎思路，與傳統的PWM算法不同，圓形旋轉磁場通過逆變器空間電壓矢量的切換獲得，使得輸出正弦的電流波形。相較於傳統的SPWM，它有消除諧波效果比較好、直流環節電壓利用率高、電機的轉矩脈動小等優點。

忽略定子電阻的壓降，有：
${{U}_{r}}=\frac{d\psi }{dt}\tag{3}$

可知定子電壓方向與磁鏈運動方向相同，電壓矢量和磁鏈矢量運動軌跡重合。所以通過控制電壓矢量運動軌跡爲圓形，就能得到圓形磁鏈。

經典的兩電平三相電壓源逆變器電路原理圖如圖2所示，在逆變器電路中，毎個橋臂上下兩個開關管爲互補輸出方式，只需用上橋臂的開關狀態就能描述逆變器的工作狀態。當${{s}_{a}}{{s}_{b}}{{s}_{c}}$爲1時，表明相應的上橋臂${{s}_{a}}{{s}_{b}}{{s}_{c}}$開關器件接通，而其下橋臂${{{s}'}_{a}}{{{s}'}_{b}}{{{s}'}_{c}}$開關器件關斷；反之，其值爲0時表明${{s}_{a}}{{s}_{b}}{{s}_{c}}$開關器件關斷而${{{s}'}_{a}}{{{s}'}_{b}}{{{s}'}_{c}}$開通，組成的開關狀態一共有8種，通過逆變器就能對應得到8個基本電壓矢量，各矢量可表達爲：
${{\mathbf{U}}_{r}}=\frac{2{{U}_{\text{dc}}}}{3}\left( {{s}_{a}}+{{s}_{b}}{{\text{e}}^{\text{j}\frac{2}{3}\pi }}+{{s}_{c}}{{\text{e}}^{-\text{i}\frac{2}{3}\pi }} \right)\tag{4}$

式中：Sa、Sb、Sc爲三個橋臂的開關狀態。

圖2 兩電平三相電壓源逆變器電路原理圖

電壓空間矢量脈寬調製的原理就是利用上述8種組合的空間電壓矢量的不同組合來合成目標電壓矢量，使磁鏈軌跡儘可能接近於圓，從而使輸出電流的諧波含量較低，同時可以其輸出電壓。8種組合的空間電壓矢量映射到複平面中得到6個扇區，如圖3所示，當按照U4(100)→U6(110)→U2(010)→U3(011)→U1(001)→U5(101)的順序施加電壓矢量，電壓矢量的軌跡爲六邊形，爲了得到圓形的軌跡，首先需知道電壓矢量所在的扇區，確定相鄰的兩個基本空間電壓向量，然後計算各矢量的作用時間，最後用三角載波信號進行切換點的比較產生換向器所需要的PWM波。

圖3 電壓空間矢量圖

（1）扇區的判斷

判斷扇區的目的是需要找到相鄰的基本空間電壓向量，先定義三個變量爲：
$\left\{ \begin{matrix}{} {{U}_{ref1}}={{U}_{\beta ref}} \\ {{U}_{ref2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{U}_{\alpha ref}}-\frac{1}{2}{{U}_{\beta ref}} \\ {{U}_{ref3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}{{U}_{\alpha ref}}-\frac{1}{2}{{U}_{\beta ref}} \\ \end{matrix} \right.\tag{5}$

再定義三個變量A、B、C，若 ${{U}_{ref1}}>0$，則A=1，否則A=0；若 ${{U}_{ref2}}>0$，則B=1，否則B=0；若 ${{U}_{ref3}}>0$，則C=1，否則C=0。

定義扇區判斷關係式爲：
$M=4C\text{+}2B\text{+}A\tag{6}$

扇區判斷關係式M與所在扇區的關係可以用表1表示。

表1 扇區判斷式與所在扇區的關係

M	1	2	3	4	5	6
扇區	Ⅱ	Ⅵ	Ⅰ	Ⅳ	Ⅲ	Ⅴ

（2）電壓矢量作用時間的計算

確定個各電壓空間矢量的作用時間是爲了讓電機的轉子按照預定的圓形軌跡運行。圖4爲期望電壓矢量合成示意圖，首先SVPWM輸入端是電機的需求定子電壓空間矢量給定值Ur，磁鏈變化量是對電壓空間矢量給定值進行Tr的時間內積分，即爲UrTr，而在相鄰的電壓空間矢量上表現爲
${{\mathbf{U}}_{4}}{{T}_{4}}\text{+}{{\mathbf{U}}_{6}}{{T}_{6}}\text{=}{{\mathbf{U}}_{r}}{{T}_{r}}\tag{7}$

圖4 期望電壓矢量合成示意圖

從圖4中可得：
$\left\{ \begin{matrix}{} {{u}_{\alpha }}=\frac{{{T}_{4}}}{{{T}_{r}}}\left| {{\mathbf{U}}_{4}} \right|+\frac{{{T}_{6}}}{{{T}_{r}}}\left| {{\mathbf{U}}_{6}} \right|\cos \frac{\pi }{3} \\ {{u}_{\beta }}=\frac{{{T}_{6}}}{{{T}_{r}}}\left| {{\mathbf{U}}_{6}} \right|\sin \frac{\pi }{3} \\ \end{matrix} \right.\tag{8}$

將式(8)變化得到:
$\left\{ \begin{matrix}{} {{T}_{4}}=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}}{2{{U}_{dc}}}\left( \sqrt{3}{{u}_{\alpha }}-{{u}_{\beta }} \right) \\ {{T}_{6}}=\frac{\sqrt{3}{{T}_{\text{s}}}}{2{{U}_{dc}}}{{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right.\tag{9}$

令扇區各矢量作用時間爲：
$\left\{ \begin{matrix}{} X=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}{{u}_{\beta }}}{{{U}_{dc}}} \\ Y=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}}{{{U}_{dc}}}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}{{u}_{\alpha }}+\frac{1}{2}{{u}_{\beta }} \right) \\ Z=\frac{\sqrt{3}{{T}_{r}}}{{{U}_{dc}}}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}{{u}_{\alpha }}+\frac{1}{2}{{u}_{\beta }} \right) \\ \end{matrix} \right.\tag{10}$

一般當${{T}_{4}}\text{+}{{T}_{6}}\le {{T}_{r}}$，而餘量時間就平均分配到空間電壓零矢量U0和U7上，零矢量是不會影響磁鏈變化量，此時令
${{T}_{4}}=\frac{{{T}_{4}}}{{{T}_{4}}+{{T}_{6}}}{{T}_{r}}{{T}_{6}}=\frac{{{T}_{6}}}{{{T}_{4}}+{{T}_{6}}}T\tag{11}$

定義開關時間切換點如式(12)所示，根據所得的時間切換點即可得PWM波形。
$\left\{ \begin{matrix}{} {{T}_{aon}}=( {{T}_{r}}-{{T}_{4}}-{{T}_{6}} )/4 \\ {{T}_{bon}}={{T}_{aon}}+{{T}_{4}}/2 \\ {{T}_{con}}={{T}_{bon}}+{{T}_{6}}/2 \\ \end{matrix} \right.\tag{12}$

3 最大轉矩電流比控制(MTPA)

標幺值是電力系統分析和工程計算中常用的數值標記方法，表示各物理量及參數的相對值。PMSM的矢量控制中，把電磁轉矩方程用標幺值表示，可以得到：
$T_{e}^{*}=i_{q}^{*}(1-i_{d}^{*})\tag{13}$

式中，$i_{q}^{*}i_{d}^{*}$分別爲$i_{q}^{{}}i_{d}^{{}}$的標幺值。其對應的轉矩的基值爲${{T}_{eb}}=p{{\lambda }_{PM}}{{i}_{b}}$，電流的基值爲${{i}_{b}}={{\lambda }_{PM}}/({{L}_{q}}-{{L}_{d}})$。

最大轉矩/電流控制也稱單位電流輸出最大轉矩控制，它是凸極永磁同步電機用得較多的一種電流控制策略。採用MTPA控制時，電機的電流矢量應滿足：
$\left\{ \begin{matrix} & \frac{\partial \left( {{T}_{e}}/{{i}_{s}} \right)}{\partial {{i}_{d}}}=0 \\ & \frac{\partial \left( {{T}_{e}}/{{i}_{s}} \right)}{\partial {{i}_{q}}}=0 \\ \end{matrix} \right.\tag{14}$

把${{i}_{s}}=\sqrt{i_{d}^{2}+i_{q}^{2}}$代入上式，可求得：
${{i}_{d}}=\frac{{{\lambda }_{PM}}}{4({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}+\sqrt{\frac{\lambda _{PM}^{2}}{16{{({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}^{2}}}+\frac{i_{s}^{2}}{2}}\tag{15}$

把式(15)表示爲標麼值，可以得到$dq$軸電流分量與電磁轉矩的關係爲：
$T_{e}^{*}=\sqrt{i_{d}^{*}{{(1-i_{d}^{*})}^{3}}}\tag{16}$

$T_{e}^{*}=\frac{i_{d}^{*}}{2}[1+\sqrt{1+4i{{_{q}^{*}}^{2}}}]\tag{17}$

利用上述兩式，可以將定子電流分量$i_{d}^{*}$和$i_{q}^{*}$可表示爲：
$\left\{ \begin{matrix} & i_{d}^{*}={{f}_{1}}(T_{e}^{*}) \\ & i_{q}^{*}={{f}_{2}}(T_{e}^{*}) \\ \end{matrix} \right.\tag{18}$

對任一給定轉矩，按式(18)求出最小電流的兩個分量作爲電流的控制指令值，即可實現電機的MPTA控制。圖5給出了式(18)所表示的曲線，圖 6爲最大轉矩/電流控制系統示意圖，圖中只給出了電機的轉矩控制環節。

圖 5$i_{d}^{*}$和$i_{q}^{*}$曲線

圖 6 PMSM的MPTA控制示意圖

正弦波永磁同步電機的控制運行與逆變器密切相關，電機運行收到逆變器的制約。其中，電機的相電壓有效值的極限值${{U}_{\lim }}$和相電流有效值極限值${{I}_{\lim }}$要受到逆變器直流側電壓和逆變器的最大輸出電流的限制。因此，電流約束方程爲：
$i_{s}^{{}}=\sqrt{i_{d}^{2}+i_{q}^{2}}\le {{I}_{\lim }}\tag{19}$

因而，最大$d$軸去磁電流可表達爲：
${{i}_{d}}=\frac{{{\lambda }_{PM}}}{4({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}+\sqrt{\frac{\lambda _{PM}^{2}}{16{{({{L}_{q}}-{{L}_{d}})}^{2}}}+\frac{I_{\lim }^{2}}{2}}\tag{20}$

此時，最大的$q$軸電流爲：
${{i}_{q}}=sign(T_{e}^{*})\sqrt{I_{\lim }^{2}-i_{d}^{2}}\tag{21}$

式中，$sign(T_{e}^{*})$爲取$T_{e}^{*}$的符號。