等周不等式

Wirtinger不等式

引理(Wirtinger不等式) 設y(t) 是具有一階連續可微的週期爲2π 的函數，而且∫2π0y(t)dt=0 ,則

∫2π0(y(t))2dt⩽∫2π0(y′(t))2dt

等號當且僅當y(t)=acost+bsint 時成立。
證明:將y(t) 展開Fourir級數，有

y(t)=a02+∑n=1∞(ancos(nt)+bnsin(nt))

由於y(t) 爲週期是2π 的具有一階連續可微的週期函數，對上式子求導，得到

y′(t)=∑n=1∞(nbncos(nt)−nansin(nt))

利用a0=1π∫2π0y(t)dt=0 和Parseval公式，有

1π∫2π0(y(t))2dt=∑n=1∞(a2n+b2n)

1π∫2π0(y′(t))2dt=∑n=1∞n2(a2n+b2n)

由上面兩個式子可知

∫2π0(y(t))2dt=π∑n=1∞(a2n+b2n)⩽π∑n=1∞n2(a2n+b2n)=1π∫2π0(y′(t))2dt

當等號成立時，只能取n=1 ,此時y(t)=acost+bsint .

等周不等式

定理:若L 是平面上簡單閉曲線C 的長度，A 是曲線C 所圍成圖形的面積，則

A⩽L22π

,且等號成立時，C 必須是圓周.
證明：設曲線C 以弧長爲參數的方程爲

x=x(s),y=y(s),s∈[0,L]

且參數s 從0變到L 時，點(x(s),y(s)) 沿逆時針方向畫出曲線C .因爲C 是閉曲線，所以x(0)=x(L),y(0)=y(L) ,做變量替換s=L2πt+L2 ,可將曲線的方程改寫爲

x=φ(t),y=ψ(t),t∈[=π,π]

且成立φ(−π)=φ(π),ψ(−π)=ψ(π) .
假設∫π−πφ(t)dt=0 .若∫π−πφ(t)dt=k≠0 ,則閉曲線C~ ：

x~=x−k2π=φ(t)−k2π,(~y)=y=ψ(t),t∈[−π,π]

是C 的一個平移，其所圍圖形的面積與C 所圍成的面積相同，於是考慮C~ 即可。
由於s=L2πt+L2 ，所以dsdt=L2π ,再有弧長的微分公式得

L24π2=(dsdt)2=φ′2(t)+ψ′2(t),t∈[−π,π]

對上式在[−π,π] 上取積分得

L22π=∫π−π[φ′2(t)+ψ′2(t)]dt

其次，C 所圍圖形的面積可用曲線積分表示爲

A=∫Cxdy=∫π−πφ(t)ψ′(t)dt

所以

L22π−2A=∫π−π[φ′2(t)+ψ′2(t)−2φ(t)ψ′(t)]dt=∫π−π[φ′2(t)−ψ2(t)]dt+∫π−π[ψ′(t)−φ(t)]2dt

由於C 是分段光滑曲線，所以φ(t) 滿足引理的條件，因此∫π−π[φ′2(t)−φ2(t)]dt⩾0 ,∫π−π[ψ′(t)−φ(t)]2dt⩾0 又是顯然的。則

A⩽L24π

等號成立時當且僅當

∫π−π[φ′2(t)−φ2(t)]dt=0,∫π−π[ψ′(t)−φ(t)]2dt=0

等價地

φ(t)=acost+bsint,ψ′(t)=φ(t),t∈[−π,π]

這時C 的參數方程爲

{x=φ(t)=acost+bsinty=ψ(t)=asint−bcost+c

即x2+(y−c)2=a2+b2 ,C 是一個圓周.