2020 CCPC Wannafly Winter Camp Day1 Div.1&2（A題 期望逆序對）（找規律）

2020 CCPC Wannafly Winter Camp Day1 Div.1&2（A題 期望逆序對）（找規律）

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64bit IO Format: %lld

題目描述

有 $n$ 個獨立的隨機變量，其中 $x_i$ 的值是一個從 $[l​_i ,r_i]$ 中隨機選取的整數，即對於 $[l​_i ,r_i]$ 中的任何一個整數 $j$，$x_i= j$ 的概率都是 $(r_i-l_i+1)^{-1}$ 現在你需要給出一個長度爲 ${n}$ 的排列 ${p}$，那麼可以得到一個長度爲 ${n}$ 的隨機變量序列 。你的目標是讓結果序列的逆序對個數的期望儘可能少。
求逆序對個數的期望的最小值。

輸入描述:

第一行輸入一個整數 ${n}(1\leq n \leq 5\times 10^3)$ 接下來 $n$ 行每行兩個整數 $l_i,r_i (1\leq l_i \leq r_i\leq 10^9)$ 。

輸出描述:

輸出一行一個整數，表示答案對 $998244353$ 取模後的值。假設答案的最簡分數表示是 $\frac{x}{y}$ ，你需要輸出一個整數 $k$ 滿足 $k \times y \equiv x \bmod 998244353$。

示例1

輸入

3
1 2
2 3
1 3

輸出

332748118

題解

官方題解爲：

但我回來反覆琢磨後發現一處問題：

這個式子在 $r_1 > l_2$ 的時候處理的不太對，不過題解代碼倒是沒什麼問題。

假如有區間 $1$ 爲 $[1,3]$ 區間 $2$ 爲 $[2,4]$ ，那麼枚舉區間 $1$ 的元素時，當 $i$ 爲 $2$ 的時候 此時若想讓區間 $1$ 的元素大於區間 $2$ 的元素，那麼無論區間 $2$ 取哪個，都是不可能的，而官方題解的式子裏可以看出區間 $2$ 裏有 $1$ 中取法（$max(0,min(2,4)-2+1)$爲 $1$ ），這顯然是不符合的；當 $i$爲 $3$ 的時候，此時區間 $2$ 裏只有一種取法，就是取 $2$ ，但是官方題解的式子裏得出了 $2$ 種取法（$max(0,min(3,4)-2+1)$爲 $2$ ），這顯然也是不符合的。

也就是說當 $r_1 > l_2$ 的時候，每次枚舉都會多加 $1$ 。

修改後的式子：
$(r_1-l_1+1)^{-1}(r_2-l_2+1)^{-1}\sum_{i=l_1}^{r_1}{max(0,min(i,r_2+1)-l_2)}$

對 $i$ 是否大於 $r_2$ 進行分類討論：

令 $r$ 等於 $min(r_1,r_2)$ ，把區間 $1$ 以 $r_2$ 爲邊界拆成 $[l_1,r]$，和 $(r,r_1]$ 兩部分（如果 $r$ 等於 $r_1$ ，那麼第二部分爲空集），計算第一部分對應的取值情況種類應該有 $(l-l_2+r-l_2)(r-l+1)/2$（等差數列求和，見於代碼第33行），計算第二部分對應的取值情況種類應該有 $(r_1-r)(r_2-l_2+1)$（見於代碼第34行）。

代碼

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
struct atom {
	int l, r;
	void scan() {
		scanf("%d%d", &l, &r);
	}
};
const int N = 5100;
const int mo = 998244353;
int operator < (atom k1, atom k2) {
	return k1.l + k1.r < k2.l + k2.r;
}
int n, inv[N];
atom A[N];
int quick(int k1, int k2) {
	int k3 = 1;
	while (k2) {
		if (k2 & 1) k3 = 1ll * k3*k1%mo;
		k2 >>= 1; k1 = 1ll * k1*k1%mo;
	}
	return k3;
}
int calc(atom k1, atom k2) {
	int l = max(k1.l, k2.l);
	if (l > k1.r) return 0;
	int r = min(k1.r, k2.r);
	int ans = 1ll * (l - k2.l + r - k2.l)*(r - l + 1) / 2 % mo;
	ans = (ans + 1ll * (k1.r - r)*(k2.r - k2.l + 1)) % mo;
	return ans;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) A[i].scan();
	sort(A + 1, A + n + 1);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) inv[i] = quick(A[i].r - A[i].l + 1, mo - 2);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			ans = (ans + 1ll * inv[i] * inv[j] % mo*calc(A[i], A[j])) % mo;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}